Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Autrement dit, soit ABC un triangle rectangle en C, alors :

AB^{2}=AC^{2} + BC^{2}

Le théorème de Pythagore permet de déterminer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, lorsqu'on connaît les longueurs des deux autres côtés.

On obtient le même résultat que la longueur cherchée : soit celle de l'hypoténuse, soit celle d'un autre côté du triangle rectangle.

Dans le triangle ABC rectangle en C :

AB^2=AC^2 +BC^2

AB^2=6^2 +8^2=36+64=100

On considère le triangle ABC ci-dessous.

Le triangle ABC est rectangle en C.

D'après le théorème de Pythagore, on a :

AB^2 = AC^2 + BC^2

Donc :

AC^2 = AB^2-BC^2

AC^2=10^2-8^2=100-64=36

Ainsi :

AC=\sqrt{36}

AC=6\text{ cm}

Réciproque du théorème de Pythagore

Dans un triangle ABC, si BC^2=AB^2+AC^2, alors le triangle ABC est rectangle en A d'hypoténuse [BC].

On a d'une part :

BC^2=5^2=25

D'autre part :

AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25

On a donc :

BC^2=AB^2+AC^2

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

La contraposée du théorème de Pythagore permet de montrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

On considère un triangle ABC tel que AB=6, BC=7 et CA=8. On cherche à savoir s'il est rectangle.

Si le triangle ABC est rectangle, cela ne peut être qu'en B car [CA] est le plus long côté.

On a d'une part :

CA^2=8^2=64

D'autre part :

AB^2+BC^2=6^2+7^2=36+49=85

On a donc :

AB^2+BC^2\neq CA^2

D'après le théorème de Pythagore, si le triangle ABC était rectangle en B, on aurait :

AB^2+BC^2=CA^2

Ce n'est pas le cas. Le triangle ABC n'est donc pas rectangle.