Quelle peut être l'intersection de deux droites ?
L'intersection de deux droites peut être soit une droite, soit un point, soit vide.
Que peut-on dire de deux droites de l'espace qui n'ont pas d'intersection ?
Deux droites de l'espace qui n'ont pas d'intersection sont soit strictement parallèles, soit non coplanaires.
Quelle peut être l'intersection d'une droite et d'un plan ?
L'intersection d'une droite et d'un plan peut être soit vide, soit un point, soit une droite.
Quelle peut être l'intersection de deux plans ?
L'intersection de deux plans peut être soit vide, soit un plan, soit une droite.
Quelle peut être l'intersection de 3 plans ?
L'intersection de trois plans peut être soit vide, soit une droite, soit un plan, soit un point.
Que peut-on dire de deux droites perpendiculaires à une même troisième droite dans l'espace ?
On ne peut rien dire de deux droites perpendiculaires à une même troisième droite, car elles peuvent être parallèles, sécantes, mais également non coplanaires.
Qu'est-ce que le plan médiateur d'un segment ?
Le plan médiateur d'un segment est le plan orthogonal à un segment et qui passe par le milieu du segment.
À quoi sert le théorème du toit ?
Le théorème du toit est utilisé pour prouver que deux droites sont parallèles.
Que peut-on dire de deux droites qui n'ont pas de point commun ?
Deux droites qui n'ont pas de point commun peuvent être parallèles ou non coplanaires.
Que peut-on dire d'une droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan ?
Une droite orthogonale à deux droites sécantes du plan est perpendiculaire au plan.
Que peut-on dire de deux plans orthogonaux à une même droite ?
Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
À quelle condition trois vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont-ils coplanaires ?
Les vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels a et b tels que : \overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}.
Si, dans un repère orthonormé de l'espace, on a A\left(x_A;y_A;z_A\right) et B\left(x_B;y_B;z_B\right), que vaut la longueur AB ?
AB =\sqrt{\left(x_{B} - x_{A}\right)^{2} + \left(y_{B} - y_{A}\right)^{2} + \left(z_{B} - z_{A}\right)^{2}}
Si, dans un repère de l'espace, on a A\left(x_A;y_A;z_A\right) et B\left(x_B;y_B;z_B\right), quelles sont les coordonnées du milieu I de \left[AB\right] ?
Les coordonnées de I sont I \text{ } \left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2} ; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right).
Quelle représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A\left(x_A;y_A;z_A\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr b \cr c \end{pmatrix} peut-on donner ?
Comme représentation paramétrique de la droite \Delta, on peut donner : \begin{cases}x = x_A + at \cr \cr y = y_A + bt \cr \cr z = z_A + ct\end{cases}\text{ , }t\in \mathbb{R}.
À quelle condition \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr y' \cr z' \end{pmatrix} sont-ils orthogonaux ?
Les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr y' \cr z' \end{pmatrix} sont orthogonaux si et seulement si xx'+yy'+zz'=0.
Si \mathscr{P} a pour équation cartésienne ax+by+cz+d=0, quel vecteur peut-on choisir comme vecteur normal à \mathscr{P} ?
Si \mathscr{P} a pour équation cartésienne ax+by+cz+d=0, alors \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr b \cr c \end{pmatrix} est un vecteur normal à \mathscr{P}.
Soient \mathscr{P} et \mathscr{P}' deux plans d'équations cartésiennes respectives ax+by+cz+d=0 et a'x+b'y+c'z+d'=0.
Quelle condition sur les vecteurs \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} et \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix} permet de dire que les plans \mathscr{P} et \mathscr{P}' sont parallèles ?
Les plans \mathscr{P} et \mathscr{P}' sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} et \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix} sont colinéaires.
Soient \mathscr{P} et \mathscr{P}' deux plans d'équations cartésiennes respectives ax+by+cz+d=0 et a'x+b'y+c'z+d'=0.
Quelle condition sur les vecteurs \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} et \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix} permet de dire que les plans \mathscr{P} et \mathscr{P}' sont perpendiculaires ?
Les plans \mathscr{P} et \mathscr{P}' sont perpendiculaires si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} et \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix} sont orthogonaux.
Quelle équation cartésienne peut-on donner pour la sphère de centre A\left(x_A;y_A;z_A\right) et de rayon R ?
La sphère de centre A\left(x_A;y_A;z_A\right) et de rayon R a pour équation cartésienne : \left(x-x_A\right)^2 + \left(y-y_A\right)^2 + \left(z-z_A\right)^2 = R^2.