Que vaut P_A\left(B\right) ?
P_{A}\left(B\right) =\dfrac{P\left(A \cap B\right)}{P\left(A\right)}
Les événements A et \overline{A} forment une partition de l'univers. Soit E un événement quelconque. Que vaut P\left(E\right) d'après la formule des probabilités totales ?
Si A et \overline{A} forment une partition de l'univers, alors pour tout événement E, P\left(E\right)=P\left(E\cap A\right)+P\left(E\cap \overline{A}\right).
Qu'appelle-t-on variable aléatoire réelle ?
Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement élémentaire de l'univers d'une expérience aléatoire.
Que signifie donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire X ?
Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire veut dire : donner pour toutes les valeurs k prises par X, la probabilité de l'événement \{X=k\}.
Soit X une variable aléatoire discrète sur un univers \Omega telle que X\left(\Omega\right)=\{x_1;x_2;...;x_n\}.
Que vaut P\left(X = x_{1}\right) + P\left(X = x_{2}\right) +... + P\left(X = x_{n}\right) ?
P\left(X = x_{1}\right) + P\left(X = x_{2}\right) +... + P\left(X = x_{n}\right) = 1
Soit X une variable aléatoire discrète sur un univers \Omega telle que X\left(\Omega\right)=\{x_1;x_2;...;x_n\}.
Quelle formule l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X donne-t-elle ?
L'espérance d'une variable aléatoire X est le réel : E\left(X\right) =\sum _{i=1}^{n}x_{i} P\left(X = x_{i}\right).
Soit X une variable aléatoire discrète sur un univers \Omega telle que X\left(\Omega\right)=\{x_1;x_2;...;x_n\}.
Quelles formules la variance V\left(X\right) de la variable aléatoire X donne-t-elle ?
La variance d'une variable aléatoire X est le réel : V\left(X\right) =\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i} - E\left(X\right)\right]^{2} P\left(X = x_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}x_i^2P\left(X=x_i\right)-\left[E\left(X\right)\right]^2.
Soit X une variable aléatoire et soient a et b des réels quelconques.
Quel est le lien entre E\left(aX+b\right) et E\left(X\right) ?
E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b
Soit X une variable aléatoire et soient a et b des réels quelconques.
Quel est le lien entre V\left(aX+b\right) et V\left(X\right) ?
V\left(aX+b\right)=a^2V\left(X\right)
Combien d'issues possède une épreuve de Bernoulli ?
Une épreuve de Bernoulli possède deux issues.
Quelles valeurs prend une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli ?
Une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli prend les valeurs 0 ou 1.
Que vaut l'espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre p ?
L'espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre p est égale à p.
En quoi consiste un schéma de Bernoulli ?
Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter un certain nombre de fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli.
Si une variable aléatoire compte le nombre de succès (de probabilité p ) dans un schéma de Bernoulli (de n répétitions), quelle loi suit-elle ?
Si une variable aléatoire compte le nombre de succès (de probabilité p ) dans un schéma de Bernoulli (de n répétitions), alors elle suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Si une variable aléatoire X suit une loi B\left(n;p\right), que vaut, pour un entier k tel que 0\leq k\leq n, la probabilité P\left(X = k\right) ?
Si une variable aléatoire X suit une loi B\left(n;p\right), alors pour tout entier k tel que 0\leq k\leq n, P\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{k} \left(1 - p\right)^{n-k}.
Que vaut l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) ?
L'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) est égale à E\left(X\right)=np.
Que vaut la variance d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) ?
La variance d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) est égale à V\left(X\right)=np\left(1-p\right).
Quelles sont les trois caractéristiques d'une densité de probabilité f sur \left[a;b\right] ?
Si f est une densité de probabilité sur \left[a;b\right], alors f est continue sur \left[a;b\right], f est positive sur \left[a;b\right] et \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1.
Si f est une densité de probabilité d'une variable aléatoire X, que vaut P\left(a\leq X \leq b\right) ?
Si X a une densité de probabilité f, alors P\left(a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
Si X est une variable à densité, que vaut P\left(X=a\right) pour un réel a\in X\left(\Omega\right) ?
Si X est une variable à densité alors P\left(X=a\right)=0.
Quelle est la densité f d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur un intervalle \left[a;b\right] ?
La densité d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right] est f\left(x\right)=\dfrac{1}{b-a}.
Que vaut P\left(c\leq X \leq d\right) si X suit la loi uniforme sur \left[a;b\right], avec a\leq c \leq d \leq b ?
Si a\leq c \leq d \leq b et X suit la loi uniforme sur \left[a;b\right], alors P\left(c\leq X \leq d\right)=\dfrac{d-c}{b-a}.
Que vaut l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right] ?
L'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur \left[a;b\right] est E\left(X\right)=\dfrac{a+b}{2}.
Quelle est la densité f d'une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite ?
La densité de probabilité d'une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite est la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}.
Que valent l'espérance et la variance d'une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite ?
Si X suit la loi normale centrée réduite alors E\left(X\right)=0 et V\left(X\right)=1.
Si X suit la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), quelle variable associée suit la loi normale centrée réduite ?
Si X suit la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), alors la variable Y=\dfrac{X-m}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.
Si X suit la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), que valent E\left(X\right) et V\left(X\right) ?
Si X suit la loi normale N\left(m;\sigma^2\right) alors E\left(X\right)=m et V\left(X\right)=\sigma^2.
Si X suit la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), que vaut P\left(m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma\right) ?
Si X suit la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), alors P\left(m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma\right)\approx 0{,}954.
Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p , quelles sont les conditions, au programme, que doivent vérifier n et p pour pouvoir donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de succès ?
Afin de pouvoir donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de succès, le programme nous demande d'avoir n \geq 30 \text{ , } np \geq 5 \text{ , } n\left(1-p\right) \geq 5.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p tels que n \geq 30 \text{ , } np \geq 5 \text{ , } n\left(1-p\right) \geq 5.
Le programme donne un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de succès. Quel est-il ?
Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, tels que n \geq 30 \text{ , } np \geq 5 \text{ , } n\left(1-p\right) \geq 5, un intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence de succès est : \left[ p - 1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} ; p + 1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} \right].
On considère n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes et f_n la fréquence de succès.
Si n \geq 30 \text{ , } nf_n \geq 5 \text{ , } n\left(1-f_n\right) \geq 5 , quel est l'intervalle de confiance au seuil de 95% pour l'estimation de p donné par le programme ?
On considère n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes et f_n la fréquence de succès.
Si n \geq 30 \text{ , } nf_n \geq 5 \text{ , } n\left(1-f_n\right) \geq 5 , le programme nous donne l'intervalle de confiance suivant au seuil de 95% pour l'estimation de p :
\left[ f_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right].