Lors d'une réaction chimique, la concentration d'un réactif au cours du temps est représentée par la fonction C.
Le temps t est mesuré en minutes et la concentration du réactif est mesuré en mol/L.
On admet que C est dérivable en 1.
On donne la représentation de la fonction C et de sa tangente au point A :
Quel est le nombre dérivé de la fonction C en 1 ?
Le nombre dérivé de la fonction C en 1 est le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe de C d'abscisse 1.
Ainsi, le nombre dérivé de la fonction C est le coefficient directeur de la tangente en A, qui est la droite (AB).
La tangente passe par les points A(1 ;0{,}5) et B(0 ;1) donc son coefficient directeur est :
\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-0{,}5}{0-1}=\dfrac{0{,}5}{-1}=-0{,}5
On a donc C'(1)=-0{,}5.
En valeur absolue, le nombre dérivé représente la vitesse instantanée de disparition du réactif en mol/L/min.
Quelle est la vitesse instantanée de disparition du réactif au bout d'une minute ?
On sait que :
- C'(1)=-0{,}5 ;
- la vitesse instantanée de disparition du réactif au bout d'une minute est la valeur absolue du nombre dérivé.
Or :
\left| -0{,}5 \right|=0{,}5
Au bout d'une minute, la vitesse instantanée de disparition de ce réactif est donc de 0,5 mol/L/min.
On a représenté sur le graphique précédent la tangente à la courbe de la fonction C au point d'abscisse 3.
Cette droite coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 0{,}28) et est tangente à la courbe au point E de coordonnées \left( 3;0{,}1 \right).
Quelle est la vitesse instantanée de ce réactif au bout de 3 minutes ?
On sait que la valeur absolue du nombre dérivé représente la vitesse instantanée de disparition du réactif. On détermine donc le nombre dérivé de la fonction en 3.
Le nombre dérivé de la fonction C en 3 est le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe de la fonction C d'abscisse 3.
Ainsi, le nombre dérivé de la fonction C est le coefficient directeur de la tangente en E.
La tangente passe par les points H(0 ;0{,}28) et E(3 ;0{,}1) donc son coefficient directeur est :
\dfrac{y_E-y_H}{x_E-x_H}=\dfrac{0{,}1-0{,}28}{3-0}=\dfrac{-0{,}18}{3}=-0{,}06
De plus :
\left| -0{,}6 \right|=0{,}6
Ainsi, au bout de 3 minutes, la vitesse instantanée de disparition de ce réactif est de 0,06 mol/L/min.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
On sait que :
- C'(1)=-0{,}5 donc la vitesse instantanée de disparition du réactif au bout d'une minute est 0,5 mol/L/min ;
-
C'(3)=-0{,}06 donc la vitesse instantanée de disparition du réactif au bout de trois minutes est 0,06 mol/L/min.
Ainsi, la vitesse instantanée de disparition du réactif au bout de 3 minutes est inférieure à la vitesse instantanée de disparition au bout d'une minute.
Comment semble évoluer la vitesse instantanée de disparition du réactif après la 1re minute de réaction ?
La vitesse instantanée de disparition à un instant t est la valeur absolue de la pente de la tangente au point d'abscisse t.
On observe que les tangentes semblent se rapprocher de l'horizontale après le point A. Elles semblent avoir des pentes, en valeur absolue, de plus en plus petites.
On peut en visualiser quelques-unes : les tangentes aux points d'abscisses 1, 2, 3 et 4.
Ainsi, la vitesse instantanée de disparition du réactif semble diminuer entre la 1re minute et la 3e minute.