La notion d'équation différentielle
Les équations différentielles permettent de modéliser un grand nombre de phénomènes, notamment économiques ou physiques, évoluant au cours du temps. Elles lient des fonctions représentant ces phénomènes évolutifs à leurs dérivées.
Équation différentielle
Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction dérivable sur un intervalle de \mathbb{R}. Cette équation est une relation entre la fonction inconnue et ses dérivées.
On note usuellement la fonction inconnue y et sa dérivée y'.
Dans l'équation différentielle y'=y, l'inconnue est la fonction y dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.
y' désigne la dérivée de y sur I.
y'=y signifie que pour tout réel x appartenant à I, y'(x)=y(x) : la fonction et sa dérivée coïncident en tout point.
Dans l'équation différentielle y'-2y=2x^{2}, l'inconnue est la fonction y dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.
y' désigne sa dérivée.
y'-2y=2x^{2} signifie que pour tout réel x appartenant à I, l'inconnue y doit vérifier y'(x)-2y(x)=x^{2}.
Solutions d'une équation différentielle
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Soit (E) une équation différentielle d'inconnue la fonction y.
On dit que f est une solution de (E) si l'égalité présente dans (E) est vérifiée lorsqu'on substitue f à y.
La fonction exponentielle \exp : x\longmapsto e^{x} est une solution de l'équation différentielle (E) :y'=y.
En effet, la fonction exponentielle est définie et dérivable sur \mathbb{R} et on sait que, pour tout réel x, \exp'\left(x\right)=\exp\left(x\right).
La fonction g: x\longmapsto 4e^{x} est également une solution de (E) :y'=y.
En effet, g est dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout réel x, g'(x)=4e^{x}.
Ainsi pour tout réel x, g'(x)=g(x).
On considère l'équation différentielle (E) :y'-2y=2x^{2}.
On vérifie que la fonction f: x\longmapsto e^{2x}-x^{2}-x-\dfrac{1}{2} est une solution de cette équation différentielle.
f est bien définie et dérivable sur \mathbb{R} comme somme de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
Soit x\in\mathbb{R}.
On a :
f'(x)=2e^{2x}-2x-1
Ainsi :
f'(x)-2f(x)=2e^{2x}-2x-1-2(e^{2x}-x^{2}-x-\dfrac{1}{2})
f'(x)-2f(x)=2e^{2x}-2x-1-2e^{2x}+2x^{2}+2x+1=2x^{2}
Ainsi pour tout réel x, f'(x)-2f(x)=2x^{2}.
f vérifie bien l'égalité y'-2y=2x^{2} donc f est une solution de (E).
Les primitives d'une fonction
La notion de primitive est liée à celle de dérivée. Cette notion possède de nombreuses applications. On la retrouve par exemple lors du calcul d'aires ou lors de la résolution d'équations différentielles.
Notion de primitive
Primitive d'une fonction continue
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I toute fonction dérivable sur I et solution de l'équation différentielle :
y'=f
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=2x-1
On cherche une solution de l'équation différentielle y'=f.
Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=x^{2}-x+3.
g est une fonction polynomiale donc g est dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout réel x, on a :
g'(x)=2x-1
La fonction g vérifie g'=f donc c'est une solution de l'équation différentielle y'=f.
Ainsi g est une primitive de f sur \mathbb{R}.
En résolvant l'équation différentielle y'=f, on cherche les fonctions y connaissant leur dérivée f. Par définition, la recherche d'une primitive sur un intervalle I est donc le procédé inverse de la dérivation.
On admet que :
Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Deux primitives de f sur I diffèrent d'une constante.
Autrement dit, si F_1 et F_2 sont des primitives de f sur I, alors il existe un réel k tel que pour tout réel x\in I, F_2(x)=F_1(x)+k.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Soient F_1 et F_2 deux primitives de f sur I.
Par définition d'une primitive, on sait que ces deux fonctions sont dérivables et que F_1'=f et F_2'=f.
Soit F=F_2-F_1.
Comme différence de deux fonctions dérivables sur I, F est dérivable sur I.
Pour tout réel x de I, on a :
F'(x)=F_2'(x)-F_1'(x)
F'(x)=f(x)-f(x)
F'(x)=0
La fonction F est donc une fonction de dérivée nulle sur un intervalle. Elle est donc constante.
Autrement dit, il existe un réel k tel que :
F(x)=k
Ainsi, il existe un réel k tel que :
F_2(x)-F_1(x)=k pour tout réel x de I
Soit :
F_2(x)=F_1(x)+k
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2-5x+3.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+3x est une primitive de f sur \mathbb{R}.
En effet, comme fonction polynôme, F est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
F'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3x^2-\dfrac{5}{2}\times 2x+3
F'(x)=x^2-5x+3
F'(x)=f(x)
F est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Les primitives de f sur \mathbb{R} sont donc les fonctions du type x\mapsto F(x)+k où k est un réel quelconque, c'est-à-dire les fonctions du type :
x\mapsto \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+3x+k où k est un réel quelconque.
Une fonction continue sur un intervalle I admet donc une infinité de primitives sur I.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et x_0\in I.
Pour tout réel y_0, il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x_0)=y_0.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2-x.
La fonction G définie sur \mathbb{R} par G(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2 est une primitive de de f sur \mathbb{R}.
Comme fonction polynôme, la fonction G est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x :
G'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3x^2-\dfrac{1}{2}\times 2x
G'(x)=x^2-x
G'(x)=f(x)
Les primitives de f sur \mathbb{R} sont donc les fonctions du type x\mapsto G(x)+k où k est un réel quelconque.
On cherche la primitive F de f sur \mathbb{R} telle que F(1)=1.
On cherche donc le réel k tel que G(1)+k=1.
Or G(1)+k=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+k.
Donc G(1)+k=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+k=1.
On en déduit :
k=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{6}
La primitive F de f sur \mathbb{R} telle que F(1)=1 est définie pour tout réel x par :
F(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{7}{6}
Les primitives des fonctions de référence
Pour déterminer des primitives d'une fonction, il est nécessaire d'en connaître déjà certaines, que l'on appelle fonctions de référence.
Soit un entier relatif n.
- Si n\geq 0, les primitives sur \mathbb{R} de la fonction x\mapsto x^n sont les fonctions du type x\mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+k où k est un réel quelconque.
- Si n<-1, les primitives sur ]-\infty;0[ (ou sur ]0;+\infty[) de la fonction x\mapsto x^n sont les fonctions du type x\mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+k où k est un réel quelconque.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{10}.
Les primitives sur \mathbb{R} de f sont les fonctions du type :
x\mapsto \dfrac{1}{11}x^{11}+k
où k est un réel quelconque.
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{x^5}.
Alors pour tout réel x>0, on a :
f(x)=x^{-5}
Les primitives sur ]0;+\infty[ de f sont les fonctions du type :
x\mapsto \dfrac{1}{-5+1}x^{-5+1}+k où k est un réel quelconque ;
soit x\mapsto \dfrac{1}{-4}x^{-4}+k où k est un réel quelconque ;
ou encore x\mapsto \dfrac{-1}{4x^4}+k où k est un réel quelconque.
On doit en particulier retenir et retrouver automatiquement les primitives dans les cas particuliers où :
- n=0
Les primitives sur \mathbb{R} de la fonction constante x\longmapsto 1 sont les fonctions x\longmapsto x+k où k est un réel quelconque.
- n=1
Les primitives sur \mathbb{R} de la fonction x\longmapsto x sont les fonctions x\longmapsto \dfrac{x^{2}}{2}+k où k est un réel quelconque.
- n=-2
Les primitives sur ]-\infty ; 0 [ ou sur ]0; +\infty [ de la fonction x\longmapsto \dfrac{1}{x^{2}} sont les fonctions x\longmapsto -\dfrac{1}{x}+k où k est un réel quelconque.
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
Les primitives sur ]0;+\infty[ de f sont les fonctions du type :
x\mapsto 2\sqrt{x}+k où k est un réel quelconque.
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
La fonction F définie sur ]0;+\infty[ par F(x)=2\sqrt{x}+5 est une primitive de f sur ]0;+\infty[.
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{x}.
Les primitives sur ]0;+\infty[ de f sont les fonctions du type x \longmapsto \ln\left(x\right)+k, où k est un nombre réel quelconque.
Une primitive sur ]0 ; +\infty[ de la fonction f(x)=\dfrac{1}{x} est la fonction F(x)=\ln\left(x\right) -2, définie sur ]0 ; +\infty[
Les primitives sur \mathbb{R} de la fonction exponentielle sont les fonctions du type :
x\mapsto \text{e}^x+k où k est un réel quelconque.
Soit F la fonction définie sur \mathbb{R} par F(x)=\text{e}^x+10 est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction exponentielle.
Primitives et opérations
À partir des fonctions de référence, on peut déduire des primitives de nombreuses autres fonctions en utilisant les opérations algébriques de base.
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I admettant des primitives F et G sur I.
Alors F+G est une primitive sur I de la fonction f+g.
Soient f et g les fonctions définies sur \mathbb{R} par f(x)=\text{e}^{x} et g(x)=x^{2}.
- La fonction F définie sur \mathbb{R} par F(x)=\text{e}^{x} est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction f.
- La fonction G définie sur \mathbb{R} par G(x)=\dfrac{x^{3}}{3} est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction g.
Donc la fonction F+G est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction f+g.
Autrement dit, la fonction x\mapsto \text{e}^{x}+\dfrac{x^{3} }{3} est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction x\mapsto \text{e}^{x}+x^{2}.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I admettant une primitive F sur I.
Soit k un réel.
Alors la fonction kF est une primitive sur \mathbb{R} de kf.
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
La fonction F définie sur ]0;+\infty[ par F(x)=2\sqrt{x} est une primitive de f sur ]0;+\infty[.
Par conséquent la fonction 10F est une primitive sur ]0;+\infty[ de la fonction 10f.
Autrement dit, la fonction x\mapsto 20\sqrt{x} est une primitive sur ]0;+\infty[ de la fonction x\mapsto \dfrac{10}{\sqrt{x}}.
Soit f une fonction polynôme de degré n et d'expression :
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0
Alors une primitive de f sur \mathbb{R} est la fonction F définie par :
F(x)=\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\dfrac{a_{n-1}}{n}x^n+\dots+\dfrac{a_1}{2}x^2+a_0x
Soit f la fonction polynôme d'expression f(x)=5x^5+3x^2-10.
Une primitive de f sur \mathbb{R} est la fonction F d'expression :
F(x)=\dfrac{5}{6}x^6+x^3-10x
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle.
Une fonction f continue sur I et ayant une certaine forme admet F comme primitive en suivant ce tableau :
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}.
Alors f=\dfrac{u'}{u} avec u(x)=x^2+1.
u est strictement positive sur \mathbb{R}.
La fonction F définie par F(x)=\ln(u(x)) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Autrement dit, la fonction x\mapsto \ln\left(x^2+1\right) est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction x\mapsto \dfrac{2x}{x^2+1}.
Les équations différentielles du type y'=ay+b
Parmi les équations différentielles, on doit connaître les solutions des équations du type y'=ay+b où a et b sont des nombres réels.
Les solutions de l'équation différentielle y'=ay, où a \in \mathbb{R}, sont les fonctions définies sur \mathbb{R} par :
x\longmapsto k e^{ax} où k est un nombre réel quelconque.
- On vérifie d'abord que les fonctions f_{k} : x \longmapsto ke^{ax} sont bien des solutions de l'équation différentielle y'=ay.
Soit k \in \mathbb{R}.
La fonction f_{k} : x \longmapsto ke^{ax} est définie et dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f_{k}' (x)= k\times ae^{ax} =a\times f_{k} (x)
Ainsi pour tout réel k, la fonction f_{k} : x \longmapsto ke^{ax} est une solution de l'équation différentielle y'=ay.
- Réciproquement, on montre que toute fonction solution de cette équation différentielle est de la forme des f_{k}.
Soit g une solution de y'=ay.
Alors pour tout réel x, g'(x) existe et g'(x)=ag(x).
On pose h(x)=e^{-ax}\times g(x).
h est définie et dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
Pour tout réel x, on a :
h'(x)=-a \times e^{-ax}\times g(x)+e^{-ax}\times g'(x) \\\\ h'(x)=e^{-ax}\times\left[ \underbrace{-ag(x)+g'(x)}_{0} \right] \\\\h'(x)=0
Ainsi h est une fonction constante sur \mathbb{R}.
Cela signifie qu'il existe un nombre réel C tel que, pour tout réel x, h(x)=e^{-ax}g(x)=C.
On en déduit que pour tout réel x :
g(x)=Ce^{ax}
g est bien de la forme des f_{k}
- En conclusion, on a montré qu'une fonction dérivable sur \mathbb{R} est solution de l'équation différentielle y'=ay si et seulement si elle est de la forme x \longmapsto ke^{ax}.
Les solutions de l'équation différentielle y'=2y sont les fonctions f_{k} : x \longmapsto ke^{2x} où k \in\mathbb{R}.
En particulier la fonction f_{-1} : x \longmapsto -e^{2x} est une solution de cette équation différentielle.
On cherche la solution f de l'équation différentielle y'-5y=0 telle que f(1)=1.
y'-5y=0 si et seulement si y'=5y.
Ainsi les solutions de l'équation différentielle y'-5y=0 sont les solutions de y'=5y : ce sont les fonctions définies sur \mathbb{R} par f_{k} (x)=ke^{5x} où k est un nombre réel quelconque.
On cherche La fonction solution telle que f(1)=1.
f_{k} (1)=1 si et seulement si ke^{5\times1}=1.
Si et seulement si k=\dfrac{1}{e^{5}}=e^{-5}.
Ainsi la fonction cherchée est la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=e^{-5}\times e^{5x}=e^{5x-5}.
Allure des courbes solutions de y'=ay
Les fonctions x\longmapsto k e^{ax} où k est un nombre réel quelconque sont monotones sur \mathbb{R}.
Si a \gt 0, la fonction x\longmapsto e^{ax} est croissante sur \mathbb{R}. Suivant le signe de k, on aura l'allure suivante pour la courbe représentant x\longmapsto k e^{ax}.
Allure des courbes y=ke^{0{,}5x} pour quelques valeurs de k comprises entre -5 et 5
Si a \lt 0, la fonction x\longmapsto e^{ax} est décroissante sur \mathbb{R}. Suivant le signe de k, on aura l'allure suivante pour la courbe représentant x\longmapsto k e^{ax}.
Allure des courbes y=ke^{-2x} pour quelques valeurs de k comprises entre -5 et 5
Soient a et b deux nombres réels non nuls.
L' équation différentielle y'=ay+b admet la fonction constante x\longmapsto -\dfrac{b}{a} comme solution sur \mathbb{R}.
On considère l'équation différentielle y'=-y+4.Cette équation différentielle est de la forme y'=ay+b avec a=-1 et b=4.
-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{4}{-1}=4
Ainsi, une solution sur \mathbb{R} de cette équation est la fonction constante x\longmapsto 4.
Soient a et b deux nombres réels non nuls.
Les solutions de l'équation différentielle y'=ay+b sont les fonctions définies sur \mathbb{R} par f_{k} : x\longmapsto ke^{ax}-\dfrac{b}{a}, où k est un réel quelconque.
On considère l'équation différentielle y'=-y+4.
Cette équation différentielle est de la forme y'=ay+b avec a=-1 et b=4.
Ainsi, les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur \mathbb{R} par f_{k} (x)=ke^{-x}-\dfrac{4}{-1}=ke^{-x}+4 où k\in\mathbb{R}.
On cherche la solution f de y'=-y+4 telle que f(0)=0.
Pour tout nombre réel k, f_{k} (0)=ke^{0}+4=k+4.
Ainsi f_{k}(0)=0 si et seulement si k=-4.
La fonction cherchée est donc f définie sur \mathbb{R} par f(x)=4-4e^{-x}.
Une solution de l'équation différentielle y'=ay+b est la somme d'une solution de l'équation y'=ay et de la solution constante x\longmapsto -\dfrac{b}{a}.
Graphiquement, cela se traduit ainsi :
Les courbes des fonctions solutions de y'=ay+b sont obtenues par translation verticale à partir des courbes des solutions de y'=ay.
