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Dernière modification : 17/09/2025 - Conforme au programme 2025-2026
La distance
La distance entre deux points
Distance entre deux points
La distance entre deux points A et B est la longueur du segment [AB]. Elle est notée AB.
Il ne faut pas confondre [AB], qui désigne un segment, avec AB, qui désigne la longueur de ce segment.
On peut reporter une distance à l'aide d'un compas ou d'une règle graduée.
Le plus court chemin pour aller d'un point A à un point B est le segment [AB].
Par conséquent, pour tout point C, on a :
AC + CB \geqslant AB
L'égalité est réalisée pour tous les points appartenant au segment [AB], et uniquement pour eux.
Le chemin le plus court pour aller du point A au point B a pour longueur AB = 6 \text{ cm}.
Le chemin en passant par le point C est plus long. Il a pour longueur : AC + CB = 5 + 2 = 7 \text{ cm}.
Les points A, C et B sont alignés.
Le chemin pour aller directement du point A au point B a pour longueur AB = 8 \text{ cm}.
Le chemin en passant par le point C a la même longueur, à savoir : AC + CB = 2 + 6 = 8 \text{ cm}.
Le milieu d'un segment
Milieu d'un segment
On appelle milieu d'un segment [AB] le point I tel que :
- I \in [AB] ;
- I est équidistant (à égale distance) des extrémités A et B du segment.
Dans la figure ci-dessous, le point I est le milieu du segment [AB].
Sur la figure précédente, on a utilisé le même codage (deux petits traits) sur les segments [AI] et [IB] pour indiquer que ces segments ont la même longueur.
Le cercle et le disque
Le cercle
Cercle de centre O
Un cercle de centre O est l'ensemble des points équidistants du point O.
Si un point A vérifie OA = r, le point A appartient au cercle de centre O et de rayon r.
Le cercle C est le cercle de centre O et de rayon 5 unités.
Le point A vérifie OA = 5 \text{ unités}.
Donc le point A appartient au cercle C.
Si un point A appartient au cercle de centre O et de rayon r, alors le point A vérifie OA = r .
Le cercle C est le cercle de centre O et de rayon 5 unités.
Le point A appartient au cercle C.
Donc le point A vérifie OA = r.
Rayon d'un cercle
Le rayon d'un cercle désigne à la fois un segment joignant un point du cercle à son centre et la longueur de ce segment.
Le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
Le segment [OA] est donc un rayon de ce cercle.
Donc le point A vérifie OA = r.
Diamètre d'un cercle
Le diamètre d'un cercle désigne à la fois un segment joignant deux points du cercle et passant par son centre et la longueur de ce segment.
Les points A et B appartiennent au cercle. Le point O, centre du cercle, appartient au segment [AB].
Donc le segment [AB] est un diamètre du cercle. Le cercle a pour diamètre AB=4.
Corde d'un cercle
Une corde d'un cercle est un segment reliant deux points de ce cercle.
Le diamètre du cercle est supérieur ou égal à toutes les cordes du cercle. De plus, on a :
\text{Diamètre} = 2 \times \text{Rayon}
Les points A, M, N, S et T appartiennent au cercle C de centre O.
- Le segment [OA] est un rayon du cercle.
- Le point O appartient au segment [MN] donc le segment [MN] est un diamètre du cercle.
- Le segment [ST] est une corde du cercle.
Alors :
- MN = 2 \times OA = 2 \times 2 \text{ unités} = 4 \text{ unités} ;
- ST \lt MN donc ST \lt 4 \text{ unités}.
Le disque
Disque
Un disque de centre O est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale du point O.
Si un point A vérifie OA \leqslant r , alors il appartient au disque de centre O et de rayon r.
Le point A vérifie OA \leqslant 4 \text{ unités}. Donc le point A appartient au disque de centre O et de rayon 4 unités.
Si un point A appartient au disque de centre O et de rayon r, alors il vérifie OA \leqslant r.
Le point A appartient au disque de centre O et de rayon 4 unités. Donc le point A vérifie OA \leqslant 4 \text{ unités}.
Si un point A vérifie OA \gt r , alors il n'appartient pas au disque de centre O et de rayon r.
On a :
OA\gt 6 \text{ unités}
Donc le point A n'appartient pas au disque de centre O et de rayon 6 unités.
La médiatrice d'un segment
Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.
La droite (d) est la médiatrice du segment [AB].
La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.
La droite (d) est la médiatrice du segment [AB].
Le point B est le symétrique de A par rapport à la droite (d).
Si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Le point C appartient à la médiatrice (d) du segment [AB]. On a donc :
CA = CB
Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
On remarque que CA= CB. Le point C appartient donc à la médiatrice du segment \left[ AB \right].
Si un point n'est pas sur la médiatrice d'un segment, alors il est plus proche de l'une des extrémités que de l'autre.
La droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. Les points M et N n'appartiennent pas à la droite (d).
- Le point M est plus proche du point A que du point B.
- Le point N est plus proche du point B que du point A.
Les deux propriétés précédentes peuvent s'écrire sous la forme d'une seule propriété, appelée la propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment.
Propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment :
La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.