Le vocabulaire et les notations des solides
Un solide est un objet en trois dimensions. Il est composé de faces, d'arêtes et de sommets.
Solide
Un solide est un objet en trois dimensions.
Le cube, le pavé ou encore le cylindre sont des solides.
Polyèdre
Lorsqu'un solide de l'espace est uniquement constitué de polygones « pleins », on dit que le solide est un polyèdre.
Le solide suivant est un polyèdre car il n'est constitué que de polygones « pleins ».
Le solide suivant n'est pas un polyèdre car il comporte des cônes.
Faces d'un polyèdre
Les polygones « pleins » constituant un polyèdre sont appelés les « faces du polyèdre ».
Arêtes d'un polyèdre
Les côtés des polygones sont appelés les « arêtes du polyèdre ».
Sommets d'un polyèdre
Les sommets des polygones sont appelés les « sommets du polyèdre ».
Le nom d'un polyèdre est donné par la liste de ses sommets sans espaces ni symboles particuliers.
Dans le polyèdre ABCDE, on distingue entre autres la face ACD et les arêtes \left[ AC \right] et \left[ AD \right].
Les solides usuels
Il existe plusieurs types de solides usuels comme les pavés droits, les cubes, les pavés droits, les prismes droits, les pyramides régulières, les cylindres, les cônes et les boules. Ils ont tous des propriétés qui leur sont propres.
Les pavés droits et les cubes
Les faces d'un pavé droit sont toutes des rectangles. Les faces d'un cube sont toutes des carrés, il s'agit d'un pavé droit particulier.
Pavé droit
Un pavé droit (aussi appelé parallélépipède rectangle) est un polyèdre possédant 6 faces, qui sont toutes des rectangles.
Le polyèdre ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle car ses 6 faces sont des rectangles.
Une boîte d'allumettes est un exemple de parallélépipède rectangle.
Un parallélépipède rectangle possède 8 sommets, 6 faces et 12 arêtes.
Dans un pavé droit :
- les faces opposées sont parallèles ;
- les faces qui ne sont pas opposées sont perpendiculaires ;
- deux arêtes parallèles ont la même longueur ;
- deux arêtes partant d'un même sommet sont perpendiculaires.
Cube
Un cube est un polyèdre possédant 6 faces qui sont des carrés.
Le cube est un parallélépipède rectangle. Il possède par conséquent les mêmes propriétés.
Les prismes droits
Un prisme droit a deux faces quelconques identiques et parallèles. Les autres faces sont ses faces latérales et sont toutes des rectangles.
Prisme droit
Un prisme droit est un polyèdre ayant deux faces polygonales quelconques identiques et parallèles appelées « bases » du prisme droit. Les autres faces, appelées « faces latérales », sont des rectangles.
Dans un prisme droit, les faces latérales sont perpendiculaires aux bases.
Un pavé droit est un prisme droit particulier : ses bases sont rectangulaires.
Hauteur d'un prisme droit
La hauteur d'un prisme droit est la distance entre les deux bases.
Dans le prisme droit ci-dessus, la hauteur est de 5 cm.
Les pyramides régulières
Une pyramide possède une base polygonale et des faces polygonales triangulaires partageant un sommet commun.
Pyramide
Une pyramide est un polyèdre formé d'une base polygonale et de faces latérales triangulaires partageant un sommet commun, qui est le sommet de la pyramide.
La pyramide ABCDEF est une pyramide dont la base est le pentagone ABCDE.
Pyramide régulière
On dit qu'une pyramide est régulière lorsque la base est un polygone ayant tous ses côtés de même longueur et lorsque les faces latérales sont toutes superposables.
Hauteur d'une pyramide
La hauteur d'une pyramide est le segment perpendiculaire à la base issu du sommet.
On appelle également « hauteur » la longueur de ce segment.
Lorsque la pyramide est régulière, le pied de la hauteur est le centre de la base.
Les cylindres
Un cylindre est un solide formé de deux bases circulaires identiques et parallèles, et d'une surface latérale correspondant à un rectangle enroulé le long des bases.
Cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est un solide formé de deux disques parallèles superposables qui sont ses bases, et d'une surface latérale correspondant à un rectangle enroulé le long des bases.
Hauteur d'un cylindre
La hauteur d'un cylindre est la distance entre les deux bases.
Rayon d'un cylindre
Le rayon d'un cylindre est le rayon de ses bases.
Les cônes de révolution
Un cône de révolution possède une base circulaire et une surface latérale qui représente un secteur angulaire.
Cône de révolution
Un cône de révolution est un solide délimité par un disque (appelé « base du cône ») et une surface latérale qui représente un secteur angulaire.
Hauteur d'un cône de révolution
La hauteur d'un cône de révolution est le segment perpendiculaire à la base issu du sommet.
Rayon d'un cône de révolution
Le rayon d'un cône de révolution est le rayon de sa base.
On appelle également « hauteur » la longueur de ce segment.
Pour former un cône de révolution, on fait tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit. Ce côté est appelé « axe de révolution » et correspond à la hauteur du cône. L'hypoténuse du triangle rectangle est appelée « génératrice ».
La sphère et la boule
Une sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance R du point O. La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance inférieure ou égale à R du point O.
Sphère
La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance R du point O.
Les points D, E et F appartiennent à la une sphère de centre A et de rayon 4 unités car AD=AE=AF=4 \text{ unités}.
Rayon d'une sphère
On appelle « rayon d'une sphère » (ou d'une boule) tout segment joignant le centre O à un point de la sphère. On parle également de « rayon » pour la longueur de ses segments.
Boule
La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance inférieure ou égale à R du point O.
La boule de centre A et de rayon 4 unités contient les points D, E et F qui appartiennent à la sphère de centre A et de rayon 4 unités.
Cette boule contient également les points situés sur les segments [AD], [AE] et [AF] et notamment leurs milieux respectifs de ces segments, les points G, H et I.
Les sphères et les boules ne possèdent pas de patron.
Les représentations usuelles
Il existe de nombreuses façons de représenter un solide. On distingue la perspective cavalière et les patrons.
La perspective cavalière
La perspective cavalière permet de visualiser une figure en trois dimensions à plat.
Perspective cavalière
La perspective cavalière est une technique de dessin qui permet de représenter un solide sur une surface plane.
Voici les règles permettant de dessiner un solide en perspective cavalière :
- Si le solide possède des faces, celles qui sont face à l'observateur sont dessinées en vraies dimensions.
- Les droites parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
- Les arêtes visibles en réalité sont tracées en continu.
- Les arêtes cachées en réalité sont tracées en pointillé.
Les patrons
Les patrons sont des représentations permettant de construire le solide lorsque cela est possible. On trouve des patrons pour les pavés droits, les prismes droits et les pyramides.
Patron d'un pavé droit
Le patron d'un pavé droit est une représentation à plat, qu'on obtient en le dépliant suivant ses faces. Il est toujours formé de trois rectangles qui apparaissent deux fois chacun, c'est-à-dire de six rectangles.
Il existe plusieurs patrons différents d'un même pavé droit.
Patron d'un prisme droit
Le patron d'un prisme droit est une représentation à plat, qu'on obtient en le dépliant suivant ses faces. Il est toujours formé de rectangles correspondant à ses faces latérales, ainsi que des deux polygones correspondant à ses bases.
Il existe plusieurs patrons différents d'un même prisme droit.
Voici deux patrons du même prisme droit ABCDEF :
Patron d'une pyramide
Le patron d'une pyramide est une représentation à plat, qu'on obtient en la dépliant suivant ses faces. Il est toujours formé de triangles correspondant à ses faces latérales, ainsi que d'un polygone correspondant à sa base.
Il existe plusieurs patrons différents d'une même pyramide, suivant l'emplacement des faces latérales.
