Sommaire
ILe vocabulaire de la rotationIIL'application de la rotationALa rotation d'angle 180°BLe centre de rotationCLa transformation d'une figure par une rotation1Définition d'une figure par une rotation2La construction de l'image d'une figure par une rotationIIILes propriétés de conservation de la rotationLe vocabulaire de la rotation
Transformer une figure par rotation, c'est la faire tourner autour d'un point. Une rotation est définie par un sens de rotation, horaire ou anti-horaire, par un centre et un angle de rotation.
Sens horaire/anti-horaire
On considère un cercle dans le plan.
- On dit que l'on se déplace sur ce cercle dans le sens horaire si l'on se déplace dans le sens des aiguilles d'une montre.
- On dit que l'on se déplace sur ce cercle dans le sens anti-horaire si l'on se déplace dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Rotation horaire
Soit A un point du plan et \alpha une mesure d'angle comprise entre 0° et 360°.
L'image d'un point M par la rotation horaire de centre A et d'angle \alpha est l'unique point M' tel que :
- AM'=AM ;
- \widehat{MAM'}=\alpha ;
- sur le cercle de centre A et de rayon AM, on passe du point M au point M' en se déplaçant dans le sens horaire.
Le point A est appelé « centre de la rotation ».
L'angle \alpha est appelé « angle de la rotation ».
Le sens horaire choisi est appelé « sens de la rotation ».
Rotation anti-horaire
Soit A un point du plan et \alpha une mesure d'angle comprise entre 0° et 360°.
L'image d'un point M par la rotation anti-horaire de centre A et d'angle \alpha est l'unique point M' tel que :
- AM'=AM ;
- \widehat{MAM'}=\alpha ;
- sur le cercle de centre A et de rayon AM, on passe du point M au point M' en se déplaçant dans le sens anti-horaire.
Le point A est appelé « centre de la rotation ».
L'angle \alpha est appelé « angle de la rotation ».
Le sens anti-horaire choisi est appelé « sens de la rotation ».
Pour construire manuellement l'image d'un point par une rotation, on a besoin :
- d'une règle ;
- d'un compas ;
- d'un rapporteur.
L'application de la rotation
Construire l'image d'une figure par une rotation d'angle 180° et de centre A revient à tracer son symétrique par rapport au point A. Pour toute rotation d'angle non nul, le centre de rotation est le seul point invariant. Enfin, on transforme une figure par rotation en reproduisant les images de tous ses points : on construit la nouvelle figure à partir de ces images.
La rotation d'angle 180°
Une rotation d'angle 180° est une symétrie centrale.
Une rotation d'angle 180° est une symétrie centrale.
Le point M' est l'image du point M par la rotation de centre A, d'angle 180° et de sens anti-horaire.
Les points M, A et M' sont alignés et AM'=AM.
Le point A est donc le milieu du segment [MM'].
Le point M' est donc également l'image du point M par la symétrie de centre A.
Que la rotation soit de sens horaire ou anti-horaire ne change rien.
Le centre de rotation
Le centre de la rotation d'une figure est le seul point invariant par une rotation d'angle non nul.
Le seul point invariant par une rotation d'angle non nul est le centre de la rotation.
La transformation d'une figure par une rotation
L'image d'une figure par rotation est constituée de toutes les images des points de la figure d'origine. On la construit à partir de ces images.
Définition d'une figure par une rotation
L'image d'une figure par une rotation est la figure constituée des images de tous les points de la figure de départ par cette rotation.
Image d'une figure par une rotation
Que le sens choisi soit horaire ou anti-horaire, l'image d'une figure par une rotation est la figure constituée des images de tous les points de la figure de départ par cette rotation.
La figure \mathcal{F}' est l'image de la figure \mathcal{F} par la rotation de centre A, d'angle 45° dans le sens anti-horaire.
La construction de l'image \mathcal{F}' est constituée des images de tous les points de la figure \mathcal{F} par la rotation choisie.
La construction de l'image d'une figure par une rotation
Pour construire l'image d'une figure par rotation, on commence à construire les images des points de la figure par rotation puis on construit la nouvelle figure à partir de ces images.
Pour construire l'image d'une figure par une rotation, il suffit de :
- construire les images de points caractéristiques de la figure de départ ;
- construire la même figure à partir des images.
On reprend l'exemple précédent.
La figure \mathcal{F}' est l'image de la figure \mathcal{F} de centre A, d'angle 45° dans le sens anti-horaire.
Pour construire l'image \mathcal{F}' du polygone \mathcal{F} par la rotation choisie, il suffit de construire les images par cette rotation des sommets du polygone \mathcal{F} puis de construire avec les images le même polygone.
La propriété précédente est également valable lorsqu'on utilise un logiciel de géométrie.
Mais avec un logiciel, on peut aller plus vite en choisissant de construire directement l'image de la figure souhaitée : il y a simplement à préciser la figure de départ, le centre de la rotation, l'angle de la rotation et le sens de la rotation.
Les propriétés de conservation de la rotation
La rotation conserve les longueurs, les mesures d'angles, le parallélisme et les aires. Par ailleurs, l'image d'une figure par rotation est superposable à la figure d'origine.
Une rotation conserve les longueurs.
La figure \mathcal{F}' est l'image de la figure \mathcal{F} par la rotation de centre A, d'angle 45° dans le sens anti-horaire.
On a :
B'C'=BC, C'D'=CD, D'E'=DE, E'F'=EF, F'B'=FB
Une rotation conserve les mesures d'angles.
La figure \mathcal{F}' est l'image de la figure \mathcal{F} par la rotation de centre A, d'angle 45° dans le sens anti-horaire.
On a :
\widehat{B'C'D'}=\widehat{BCD}, \widehat{C'D'E'}=\widehat{CDE}, \widehat{D'E'F'}=\widehat{DEF}, \widehat{E'F'B'}=\widehat{EFB}, \widehat{F'B'C'}=\widehat{FBC}
Une rotation conserve le parallélisme.
La figure \mathcal{F}' est l'image de la figure \mathcal{F} par la rotation de centre A, d'angle 45° dans le sens anti-horaire.
On a :
(CD)//(FE) et (C'D')//(F'E')
Une rotation conserve les aires.
La figure \mathcal{F}' est l'image de la figure \mathcal{F} par la rotation de centre A, d'angle 45° dans le sens anti-horaire.
Les aires des figures \mathcal{F}' et \mathcal{F} sont les mêmes.
Une figure et son image par une rotation sont superposables.
La figure \mathcal{F}' est l'image de la figure \mathcal{F} par la rotation de centre A, d'angle 45° dans le sens anti-horaire.
Les figures \mathcal{F}' et \mathcal{F} sont superposables.