Sommaire
IMultiplier et diviser des nombres relatifsAMultiplier des nombres relatifsBDiviser les nombres relatifsIILes priorités opératoiresMultiplier et diviser des nombres relatifs
Multiplier et diviser des nombres relatifs implique de se préoccuper du signe des nombres que l'on multiplie ou que l'on divise. Dans les deux cas, le calcul de deux nombres de même signe a un résultat positif, le calcul de deux nombres de signes contraires a un résultat négatif.
Multiplier des nombres relatifs
Lorsqu'on multiplie des nombres relatifs, il faut faire attention au signe des facteurs : un produit qui contient un nombre pair de facteurs négatifs est positif, un produit qui contient un nombre impair de facteurs négatifs est négatif.
Le produit de deux nombres de même signe est positif.
- 4{,}5\times6{,}1=27{,}45
- (-4{,}5)\times(-6{,}1)=27{,}45
Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
- (-4{,}5)\times6{,}1=-27{,}45
- 4{,}5\times(-6{,}1)=-27{,}45
Une multiplication comportant un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif.
Le calcul (-3)\times 5\times (-10{,}4) comporte deux facteurs négatifs, le produit est donc positif :
(-3)\times5\times(-10{,}4)=156
Une multiplication comportant un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif.
Le calcul \left(-2\right) \times \left(-4\right) \times 3 \times \left(-10\right) comporte trois nombres négatifs, le produit est donc négatif :
(-2)\times(-4)\times3\times(-10)=-240
Pour calculer un produit de plusieurs nombres relatifs, on détermine son signe, puis on multiplie les distances à zéro.
Autrement dit, on détermine son signe, puis on multiplie les nombres sans les signes.
On souhaite calculer le produit suivant :
2{,}5\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)
Ce produit comporte un facteur positif et deux facteurs négatifs, il est donc positif.
On peut le calculer :
2{,}5\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)=2{,}5\times1\times2=5
Multiplier un nombre par (-1) revient à prendre son opposé.
- \left(-1\right) \times 5 = -5
- (-1)\times (-7{,}2)=7{,}2
Diviser les nombres relatifs
Lorsqu'on divise des nombres relatifs, il faut faire attention au signe des nombres : le quotient de deux nombres de même signe est positif, le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.
Le quotient de deux nombres de même signe est positif.
- \dfrac{6{,}5}{5}=1{,}3
- \dfrac{-6{,}5}{-5}=1{,}3
Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.
- \dfrac{-6{,}5}{5}=-1{,}3
- \dfrac{6{,}5}{-5}=-1{,}3
Pour calculer un quotient de deux nombres relatifs, on détermine son signe, puis on divise les distances à zéro.
Autrement dit, on détermine son signe, puis on effectue la division sans les signes.
On souhaite calculer \dfrac{-8{,}4}{-5}.
Les nombres -8{,}4 et -5 sont de même signe, le quotient \dfrac{-8{,}4}{-5} est donc positif.
On peut le calculer :
\dfrac{-8{,}4}{-5}=1{,}68
Soient a et b des nombres relatifs avec b\neq0. Alors :
\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}
\dfrac{-2{,}4}{-5{,}8}=\dfrac{2{,}4}{5{,}8}
Soient a et b des nombres relatifs avec b\neq0. Alors :
\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}
\dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}
Les priorités opératoires
Quand le calcul contient uniquement des additions et des soustractions, ou alors uniquement des multiplications et des divisions, le calcul s'effectue de gauche à droite. Quand il contient les quatre types d'opération, on calcule d'abord les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions. L'usage de parenthèses permet de montrer qu'un calcul est prioritaire.
Si un calcul ne comporte que des additions ou des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite.
3{,}2+6{,}7-8+4{,}1=9{,}9-8+4{,}1=1{,}9+4{,}1=6
Si un calcul ne comporte que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite.
2{,}5\times(-4{,}2)\div2=-10{,}5\div2=-5{,}25
Dans un calcul écrit sans parenthèses, on effectue dans l'ordre :
- les multiplications et les divisions d'abord ;
- les additions et les soustractions ensuite.
3+\textcolor{Blue}{5\times(-2{,}7)}-1=3-\textcolor{Blue}{13{,}5}-1=-11{,}5
Même si la multiplication ou la division se trouve après une addition ou une soustraction, on doit l'effectuer en priorité s'il n'y a pas de parenthèses.
Les parenthèses servent à indiquer qu'un calcul est prioritaire : il doit donc être effectué en premier.
3\times\textcolor{Blue}{(2+(-5{,}4))}-4=3\times\textcolor{Blue}{(-3{,}4)}-4=-10{,}2-4=-14{,}2