L'écriture des nombres entiers
Un nombre entier peut être composé de plusieurs chiffres. La position qu'occupe un chiffre dans un nombre a un nom : unité, dizaine, centaine, etc. Pour écrire les grands nombres entiers, on sépare les chiffres par paquets de trois.
Les chiffres
On utilise dix chiffres pour écrire un nombre entier : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
2 431 est un nombre entier composé des chiffres 2, 4, 3 et 1.
On ne doit pas confondre chiffre et nombre.
- 9 est un chiffre.
- 146 est un nombre composé de trois chiffres 1, 4 et 6.
Le nom d'un chiffre
Le nom d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre : le chiffre des unités, celui des dizaines, celui des centaines, celui des milliers, etc.
Dans le nombre 46 235 :
- 5 est le chiffre des unités ;
- 3 est le chiffre des dizaines ;
- 2 est le chiffre des centaines ;
- 6 est le chiffre des milliers ;
- 4 est le chiffre des dizaines de milliers.
Si l'on change l'ordre des chiffres d'un nombre, on obtient un nombre différent.
Si on change l'ordre des chiffres du nombre 46 235, on obtient un nombre différent comme 62 354.
Pour identifier chaque chiffre d'un nombre entier, on peut le placer dans un tableau de numération faisant apparaître le nom de chaque chiffre. Dans un tableau de numération :
- C signifie « centaines » ;
- D signifie « dizaines » ;
- U signifie « unités ».
On peut placer le nombre 46 235 dans un tableau de numération. On obtient :
L'écriture des grands nombres entiers
Lorsqu'un nombre entier est grand, sa lecture peut s'avérer difficile. On sépare alors les chiffres par paquets de trois pour faciliter sa lecture.
Pour écrire un grand nombre entier et faciliter sa lecture, on sépare les chiffres écrits par groupe de trois à partir du chiffre des unités.
Le nombre 1234567890 est plus facilement lisible sous la forme 1 234 567 890.
Il s'agit du nombre un milliard deux-cent-trente-quatre-millions cinq-cent-soixante-sept-mille-huit-cent-quatre-vingt-dix.
Grâce à un tableau de numération, on retrouve le lien entre les différentes catégories. Il suffit pour cela de placer un 1 dans la colonne de la catégorie la plus grande et de compléter par des 0 jusqu'à la catégorie la plus faible.
En particulier :
- il faut 1 000 millions pour obtenir 1 milliard ;
- il faut 1 000 milliers pour obtenir 1 million ;
- il faut 1 000 unités pour obtenir 1 millier.
Dans 1 milliard, il y a 1 000 000 milliers.
Comparer, ranger, encadrer et placer les nombres entiers
On peut comparer, ranger et encadrer des nombres entiers. On peut également les placer sur une demi-droite graduée.
Comparer des nombres entiers
On peut comparer des nombres entiers, en déterminant lequel est le plus petit ou inversement.
Comparer deux nombres entiers
Comparer deux nombres entiers signifie déterminer lequel est le plus grand (ou le plus petit), ou bien s'ils sont égaux :
- Si le nombre a est plus petit que le nombre b, on dit que a est strictement inférieur à b et on note a\lt b.
- Si le nombre a est plus grand que le nombre b, on dit que a est strictement supérieur à b et on note a\gt b.
- Si le nombre a est égal au nombre b, on note a=b.
- Le nombre 15 est plus petit que 45, donc 15 est strictement inférieur à 45. On note 15\lt45.
- Le nombre 56 est plus grand que 23, donc 56 est strictement supérieur à 23. On note 56\gt 23.
- Le nombre 12 et le nombre 12 sont égaux. On note 12=12.
On distingue deux cas :
- Si le nombre a est plus petit que le nombre b, mais n'est pas égal à b, on dit que a est strictement inférieur à b et on note a\lt b.
- Si le nombre a est plus petit que le nombre b, et peut être égal à b, on dit que a est inférieur ou égal à b et on note a\leqslant b.
- En prenant a=5 et b=152, on a a<b et on a également a\leqslant b.
- En prenant a=56 et b=56, on n'a pas a<b, mais on a toujours a\leqslant b.
On distingue deux cas :
- Si le nombre a est plus grand que le nombre b, mais n'est pas égal à b, on dit que a est strictement supérieur à b et on note a\gt b.
- Si le nombre a est plus grand que le nombre b, et peut être égal à b, on dit que a est supérieur ou égal à b et on note a\geqslant b.
- En prenant a=215 et b=52, on a a>b et on a également a\geqslant b.
- En prenant a=756 et b=756, on n'a pas a>b, mais on a toujours a\geqslant b.
Pour comparer de grands nombres entiers, on peut les placer dans un tableau de numération.
On cherche à comparer les nombres 12 560 000 000 et 956 123 457. On les place dans un tableau de numération :
Le nombre 12 560 000 000 a son premier chiffre dans la colonne des dizaines de milliards, alors que le nombre 956 123 457 a son premier chiffre dans la colonne des centaines de millions.
On a donc :
12\, 560\, 000\, 000 > 956\, 123\, 457
Ranger des nombres entiers
On peut ranger les nombres entiers par ordre croissant ou par ordre décroissant.
Ranger des nombres entiers par ordre croissant
Ranger des nombres entiers par ordre croissant, cela signifie les ranger du plus petit au plus grand.
Les nombres suivants sont rangés par ordre croissant :
456 < 1\, 897 < 56\, 999\, 000 < 123\, 000\, 000 < 900\, 000\, 000\, 000
Ranger des nombres entiers par ordre décroissant
Ranger des nombres entiers par ordre décroissant, cela signifie les ranger du plus grand au plus petit.
Les nombres suivants sont rangés par ordre décroissant :
555\, 555\, 555\, 555 > 666\, 666\, 666 > 777\, 777 > 888 > 9
Encadrer des nombres entiers
On peut encadrer des nombres entiers entre deux autres nombres entiers.
Encadrer un nombre entier
Encadrer un nombre entier par deux autres nombres entiers, c'est choisir un entier inférieur à celui de départ et un entier supérieur à celui de départ.
On cherche à encadrer le nombre entier 777 par des entiers ayant un nombre entier de dizaines. Il faut donc choisir :
- Un nombre entier inférieur à 777 avec un chiffre des unités égal à 0. Le nombre 770 convient.
- Un nombre entier supérieur à 777 avec un chiffre des dizaines immédiatement supérieur à 7 et un chiffre des unités égal à 0. Le nombre 780 convient.
On peut donc écrire :
770<777<780
Pour encadrer des grands nombres entiers par deux nombres entiers, on peut s'aider d'un tableau de numération.
On cherche à encadrer le nombre 999 999 999 par deux entiers ayant un nombre entier de milliers. On peut placer ce nombre dans un tableau de numération.
Pour choisir un entier inférieur à 999 999 999 ayant un nombre entier de milliers, on peut remplacer chaque chiffre en dessous des unités de milliers par 0. On trouve le nombre 999 999 000.
Pour choisir un nombre entier supérieur à 999 999 999 avec un nombre entier de milliers, on doit atteindre la catégorie des milliards. On trouve le nombre 1 000 000 000.
On peut donc écrire :
999\ 999\ 000<999\ 999\ 999<1\ 000\ 000\ 000
Placer les nombres entiers sur une demi-droite graduée
On peut placer les nombres entiers sur une demi-droite graduée. L'abscisse est le nombre qui permet de repérer un point sur une demi-droite graduée.
Demi-droite graduée
Une demi-droite graduée est une moitié de droite, dont l'extrémité est l'origine, et qui comporte des graduations selon une unité de longueur fixe.
Abscisse d'un point
L'abscisse d'un point situé sur une demi-droite graduée est le nombre permettant de repérer le point sur cet axe.
Pour déterminer l'abscisse du point A, on compte le nombre de graduations. Chaque graduation correspond à une longueur de 1. L'abscisse du point A est donc égale à 3.
Lorsque l'on doit placer un grand nombre entier sur une demi-droite graduée, l'unité est toute petite. On ne voit donc pas l'abscisse 1 sur la demi-droite. Il faut se repérer par rapport aux nombres qui apparaissent.
Sur la droite graduée ci-dessous, on repère que l'abscisse 5 000 000 correspond à la cinquième graduation à droite de 0. Il y a donc 1 000 000 entre chaque graduation.
Le point B est positionné à la neuvième graduation à droite de 0. Son abscisse est donc 9 000 000.
