Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 28/08/2025 - Conforme au programme 2025-2026
Problèmes additifs
Problème additif
Un problème additif est un problème que l'on résout en effectuant une ou plusieurs additions.
Il y a des problèmes faisant intervenir un « tout » et une « partie de ce tout ».
On met bout à bout deux bandes de papiers. La première a une longueur de \dfrac{37}{10} \text{ cm}. La seconde a une longueur de 3+\dfrac{4}{10} \text{ cm}.
Quelle est la longueur totale de ces deux bandes de papier réunies ?
On doit additionner \dfrac{37}{10} \text{ cm} et 3+\dfrac{4}{10} \text{ cm}.
On peut écrire les deux nombres en écriture décimale :
-
\dfrac{37}{10}=3{,}7
-
3+\dfrac{4}{10}=3{,}4
On calcule donc :
3{,}7 \text{ cm}+3{,}4\text{ cm}=7{,}1\text{ cm}
La longueur totale est donc de 7,1 cm.
Il y a les problèmes faisant intervenir une comparaison.
Alix mesure 1,59 m. Bruno mesure 0,12 m de plus qu'Alix. Quelle est la taille de Bruno ?
La taille de Bruno est donnée comparativement à celle d'Alix. Il s'agit donc d'un problème de comparaison.
On peut faire un schéma afin de visualiser :
On calcule la taille de Bruno ainsi :
1{,}59 \text{ m} + 0{,}14 \text{ m} = 1{,}73 \text{ m}
Bruno mesure donc 1,73 m.
Les expressions « de plus » et « de moins » apparaissent souvent dans les problèmes de comparaison additive.
- Laura a 10 ans. « Max a 3 ans de plus que Laura » signifie que l'âge de Max est égal à : 10\textcolor{Blue}{+3} ans , c'est-à-dire 13 ans.
-
Tom a 18 ans. « Mia a 4 ans de moins que Tom » signifie que l'âge de Mia est égal à : 18\textcolor{Red}{-4} ans , c'est-à-dire 14 ans.
Attention, dans certains problèmes additifs on peut être amené à effectuer une soustraction.
Ethan a acheté des pommes et des poires. Il a acheté 3,4 kg de pommes. Il a acheté 6 kg de fruits en tout.
Quelle masse de poires a-t-il achetée ?
On peut faire un schéma pour visualiser :
On cherche à compléter l'addition à trou :
3{,}4 \text{ kg} + \text{... kg} =6 \text{ kg}
Cela revient à effectuer la soustraction :
6 \text{ kg}-3{,}4 \text{ kg}=2{,}6 \text{ kg}
La masse de poires est donc de 2,6 kg.
Dans un problème additif, il peut y avoir plusieurs étapes.
Léo a 25,60 €. Lucie a 7,55 € de plus que Léo. Quelle somme d'argent les deux enfants ont-ils en tout ?
On peut faire un schéma pour visualiser :
Première étape : on calcule la somme d'argent que possède Lucie.
25{,}60 \text{ €}+7{,}55\text{ €}=33{,}15\text{ €}
Deuxième étape : on en déduit la somme totale.
25{,}60 \text{ €}+33{,}15\text{ €}=58{,}75\text{ €}
Au total, les enfants possèdent donc 58,75 €.
Problèmes multiplicatifs
Problème multiplicatif
Un problème multiplicatif est un problème que l'on résout en effectuant une ou plusieurs multiplications.
Il existe plusieurs types de problèmes multiplicatifs.
Il y a des problèmes faisant intervenir un « tout » et une « partie de ce tout ».
Il s'agit souvent de problèmes consistant à rechercher la valeur d'une part ou le nombre de parts dans le cadre d'un partage équitable.
La maîtresse de CM1 a acheté six dictionnaires pour la classe. Chaque dictionnaire coûte 17,85 €.
Quel montant a-t-elle dû payer pour les cinq dictionnaires ?
On peut faire un schéma en barres pour visualiser :
On effectue la multiplication suivante :
17{,}85\text{ €} \times 5
On obtient :
89,25 €
La maîtresse a donc dû payer 89,25 € au total.
Il y a les problèmes faisant intervenir une comparaison.
Axel achète une trottinette et un casque. La trottinette coûte quatre fois plus cher que le casque. Le casque coûte 32 €.
Quel est le prix de la trottinette ?
Le prix de la trottinette est donné comparativement au prix du casque. Il s'agit donc d'un problème de comparaison.
On peut faire un schéma en barres afin de visualiser :
On calcule le prix de la trottinette ainsi :
32 \text{ €} \times 4=128\text{ €}
La trottinette coûte donc 128 €.
Les expressions « ... fois plus » et « ... fois moins » apparaissent souvent dans les problèmes de comparaison multiplicative.
- Léo a 3 ans. « Lili est 4 fois plus âgée que Léo » signifie que l'âge de Lili est égal à : 3\textcolor{Blue}{ \times4} ans, c'est-à-dire 12 ans.
-
Jules a 20 ans. « Rémi est 5 fois moins âgé que Jules » signifie que l'âge de Rémi est égal à : 20\textcolor{Red}{ \div 5} ans, c'est-à-dire 4 ans.
Dans un problème multiplicatif, on peut être amené à compléter une multiplication à trou.
Le maître de CM2 a acheté six manuels pour la classe. Il a payé 72 €.
Quel est le prix d'un manuel ?
On peut faire un schéma en barres afin de visualiser :
On cherche à compléter la multiplication à trou :
... \text{ €} \times 6=72\text{ €}
On sait que 12 \times 6=72.
On en déduit qu'un manuel coûte 12 €.
Problèmes mixtes
Problème mixte
Un problème mixte est un problème à plusieurs étapes que l'on résout en effectuant plusieurs opérations différentes.
Amir achète trois pains aux raisins pesant chacun 210 g et deux bouteilles d'eau pesant 1,6 kg chacune. Quelle est la masse totale des achats d'Amir ?
On raisonne en plusieurs étapes.
- Étape 1 : on calcule la masse des pains aux raisins.
- Étape 2 : on calcule la masse des bouteilles d'eau.
- Étape 3 : on calcule la masse totale en additionnant les masses obtenues aux étapes 1 et 2.
On calcule la masse des pains aux raisins
Un pain aux raisins pèse 210 g.
Donc la masse de 3 pains aux raisins est de :
3\times 210\text{ g}=630\text{ g}
On calcule la masse des bouteilles d'eau
Une bouteille d'eau pèse 1,6 kg.
Donc la masse de 2 bouteilles d'eau est de :
2\times 1{,}6\text{ kg}=3{,}2\text{ kg}
On calcule la masse totale en additionnant les masses obtenues aux étapes 1 et 2
630 \text{ g}+3{,}2\text{ kg}=0{,}63\text{ kg}+3{,}2\text{ kg}=3{,}83\text{ kg}
La masse totale des achats d'Amir est de 3,83 kg.
Problèmes de dénombrement
Problème de dénombrement
Un problème de dénombrement est un problème consistant à déterminer le nombre d'éléments d'un ensemble sans passer tout de suite par l'une des quatre opérations.
Pour résoudre un problème de dénombrement, il faut penser à organiser judicieusement les éléments à dénombrer de manière à :
- les compter chacun une et une seule fois ;
- sans oubli ;
- ne pas compter deux fois la même chose.
Pour résoudre un problème de dénombrement, on peut avoir recours à un tableau.
Une peluche est livrée avec trois pantalons et sept t-shirts.
De combien de façons différentes est-il possible d'habiller la peluche ?
On peut faire un tableau dans lequel on fait figurer les t-shirts en colonnes (une colonne par couleur de t-shirt) et les pantalons en lignes (une ligne par couleur de pantalon).
Le nombre de tenues possibles correspond au nombre de cases dans le tableau :
3 \times 7 = 21
On peut donc habiller la peluche de 21 manières différentes.
Pour résoudre un problème de dénombrement, on peut avoir recours à un arbre.
Pour se déguiser, un clown dispose de :
- deux chapeaux : un rouge et un bleu ;
- trois t-shirts : un violet, un noir et un jaune ;
- deux pantalons : un gris et un vert.
Combien de costumes complets différents avec un chapeau, un t-shirt et un pantalon le clown peut-il faire ?
On peut faire un arbre dans lequel on fait figurer dans l'ordre : les couleurs des chapeaux puis, pour chaque chapeau, les couleurs des t-shirts et enfin, pour chaque t-shirt, les couleurs des pantalons.
Le nombre de tenues possibles correspond au nombre de pantalons obtenus à la droite de l'arbre :
12
Le clown peut donc avoir 12 costumes complets différents.
Pour résoudre un problème de dénombrement, on peut avoir recours à une liste organisée.
Karim veut fabriquer un jeu de dominos.
Dans son jeu, chaque domino doit être composé de deux nombres de points compris entre 0 et 4. Il ne peut pas y avoir deux dominos identiques. Quel est le nombre de dominos que peut contenir ce jeu ?
Attention, ces deux dominos sont les mêmes :
On peut faire une liste organisée de tous les dominos possibles :
Puis on repère les dominos qui apparaissent deux fois. Pour chaque répétition, on en barre un.
On dénombre les dominos :
5+4+3+2+1=15
Ce jeu contiendra donc 15 dominos.
Problèmes d'optimisation
Problème d'optimisation
Un problème d'optimisation est un problème dans lequel le résultat doit être optimal, c'est-à-dire le plus grand ou ou le plus petit possible.
Loïc veut réaliser des bracelets. Pour faire un bracelet, il lui faut :
- 1 fil de longueur 12 cm ;
- 5 perles blanches ;
- 6 perles vertes ;
- 3 perles rouges.
Il dispose de :
- 10 fils de longueur 12 cm ;
- 48 perles blanches ;
- 47 perles vertes ;
- 25 perles rouges.
Quel est le plus grand nombre de bracelets qu'il peut réaliser ?
On peut schématiser ce qui est nécessaire pour faire un bracelet :
Les perles blanches
On sait que :
- pour 1 bracelet, il faut 5 perles blanches ;
- on a 48 perles blanches ;
- 48=9 \times 5 + 3
On en déduit qu'avec 48 perles blanches, on pourrait faire 9 bracelets et il resterait 3 perles blanches.
Les perles rouges
On sait que :
- pour 1 bracelet, il faut 3 perles rouges ;
- on a 25 perles rouges ;
- 25=8 \times 3 + 1
On en déduit qu'avec 25 perles rouges, on pourrait faire 8 bracelets et il resterait 1 perle rouge.
Les perles vertes
On sait que :
- pour 1 bracelet, il faut 6 perles vertes ;
- on a 47 perles vertes ;
- 47=7 \times 6 + 5
On en déduit qu'avec 47 perles vertes, on pourrait faire 7 bracelets et il resterait 5 perles vertes.
On peut donc faire 7 bracelets avec les perles. Et on dispose de suffisamment de fil (10 fils). En conclusion, Loïc peut faire au maximum 7 bracelets.
