Ensemble de définition et courbe
Domaine de définition
Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.
Courbe représentative
La courbe représentative C_{f} d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right), pour tous les réels x du domaine de définition de f.
Sens de variation
Fonction croissante
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \leq f\left(y\right)
Fonction décroissante
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \geq f\left(y\right)
Sens de variation et dérivée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
- Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
- Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Signe d'une fonction
Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.
Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.
Résolution graphique d'équations et d'inéquations
Résolution graphique de l'équation f\left(x\right)=k
Les solutions de l'équation f\left(x\right)=k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C_f avec la droite d'équation y=k.
Résolution graphique de l'inéquation f\left(x\right)\geq k
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right)\geq k sont les abscisses des points de la courbe C_f situés au-dessus de la droite d'équation y=k.
Continuité et convexité
Fonction continue
Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.
Fonction convexe
Une fonction f est dite convexe sur I lorsque sa courbe est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.
Si la fonction f est dérivable deux fois, elle est convexe si et seulement si la dérivée f' est croissante, c'est-à-dire si sa dérivée seconde f'' est positive.
Fonction concave
Une fonction f est dite concave sur I lorsque sa courbe est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.
Si la fonction f est dérivable deux fois, elle est concave si et seulement si la dérivée f' est décroissante, c'est-à-dire si sa dérivée seconde f'' est négative.
Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point où la représentation graphique d'une fonction traverse sa tangente en ce point, c'est-à-dire là où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.