Notion de nombre complexe
La forme algébrique
Nombre complexe
On appelle nombre complexe tout élément de la forme x+iy où x et y sont des réels et i un élément vérifiant i^2=-1.
Forme algébrique
L'écriture z = x + iy (où x et y sont des réels) est appelée forme algébrique de z. Elle est unique.
Parties réelle et imaginaire
Soit un nombre complexe z = x + iy (où x et y sont réels) :
- On appelle partie réelle de z, notée \text{Re}\left(z\right), le réel x.
- On appelle partie imaginaire de z, notée \text{Im}\left(z\right), le réel y.
Nombres égaux
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
- Le nombre z est réel si et seulement si \text{Im}\left(z\right) = 0.
- Le nombre z est imaginaire pur si et seulement si \text{Re}\left(z\right) = 0.
Le conjugué
Conjugué
Soit un nombre complexe sous forme algébrique z = x + iy.
On appelle conjugué de z, noté \overline{z}, le complexe :
x - iy
Soient z et z' deux nombres complexes tels que z=x+iy et z'=x'+iy'.
- \overline{\overline{z}} = z
- z + \overline{z} = 2 \text{Re}\left(z\right)
- z - \overline{z} = 2i \text{ Im}\left(z\right)
- z est réel \Leftrightarrow z = \overline{z}
- z est imaginaire pur \Leftrightarrow z = - \overline{z}
- \overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}
- \overline{zz'} = \overline{z} \overline{z'}
- Si z' non nul : \overline{ \left(\dfrac{z}{z'} \right) } = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}
- Pour tout entier relatif n (avec z\neq 0 si n \lt 0 ) : \overline{z^n}= \left(\overline{z}\right)^{n}
Le module
Module
Soit un nombre complexe z = x + iy.
On appelle module de z, noté |z|, le réel :
\sqrt{x^{2} + y^{2}}
Soient z et z' deux nombres complexes.
- z \overline{z} = |z|^{2}
- |z| = |\overline{z}|
- |z| = |- z|
- |zz'| = |z| \times |z'|
- Si z' non nul : \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}
- Pour tout entier n : |z^{n}| = |z|^{n}
La représentation analytique
Affixe
Soit un repère orthonormal direct du plan \left(O ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right).
À tout point M de coordonnées \left(x ; y\right) on associe le nombre complexe z = x + iy :
- Le nombre complexe z est appelé affixe du point M (et du vecteur \overrightarrow{OM} ).
- Le point M est appelé image du nombre complexe z. On définit ainsi le plan complexe.
Le module |z| du nombre complexe z, affixe du point M, est égal à la distance OM.
Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont égaux si, et seulement s'ils ont même affixe.
On peut se servir de la propriété précédente pour :
- Déterminer l'affixe d'un point D pour qu'un quadrilatère ABCD soit un parallélogramme, connaissant les affixes des points A, B et C.
- Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment.
Les équations dans \mathbb{C}
Les équations du premier degré d'inconnue z à coefficients réels se résolvent dans \mathbb{C} comme dans \mathbb{R}.
Les équations du premier degré faisant intervenir un nombre complexe z et son conjugué \overline{z} se résolvent en remplaçant z et \overline{z} par leurs formes algébriques.
Équations du second degré
Soit une équation du second degré à coefficients réels du type az^{2} + bz + c, avec a \neq 0.
- Si \Delta \gt 0, cette équation admet deux solutions réelles :
z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
- Si \Delta=0, cette équation admet une solution (double) réelle :
z_0=\dfrac{-b}{2a}
- Si \Delta \lt 0, cette équation admet deux solutions complexes conjuguées :
z_{1} =\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a} et z_{2} =\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}
Dans le cas où \Delta \lt 0, on aurait pu écrire :
z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a} et z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}
Les formes trigonométriques et exponentielles
La forme trigonométrique
Argument
On appelle argument de z, noté \arg\left(z\right) la mesure en radians de l'angle orienté \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) :
\arg\left(z\right) = \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) \left[2\pi \right]
Forme trigonométrique
Soit un nombre complexe z non nul d'argument \theta.
Alors z = |z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right).
|z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right) est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z.
Réciproquement, si z = r \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right), avec r \gt 0 et \theta réel quelconque, alors :
|z| = r
\arg\left(z\right) = \theta \left[2\pi\right]
Soit z un nombre complexe non nul d'argument \theta et de forme algébrique x+iy, avec x et y réels. Alors :
x=|z|\cos\left(\theta\right) et y=|z|\sin\left(\theta\right)
Autrement dit :
\cos\left(\theta\right)=\dfrac{x}{|z|} et \sin\left(\theta\right)=\dfrac{y}{|z|}
Soient z et z' deux nombres complexes non nuls.
- \arg\left(zz'\right) = \arg\left(z\right) + \arg\left(z'\right) \left[2\pi\right]
- \arg\left(\dfrac{1}{z}\right) = - \arg\left(z\right) \left[2\pi\right]
- \arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg\left(z\right) - \arg\left(z'\right) \left[2\pi\right]
- Pour tout entier naturel n : \arg\left(z^{n}\right) = n \arg\left(z\right) \left[2\pi\right]
- z est réel \Leftrightarrow \arg\left(z\right) = 0 \left[2\pi \right] ou \arg\left(z\right) = \pi \left[2\pi \right]
- z est imaginaire pur \Leftrightarrow \arg\left(z\right) = \dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right] ou \arg\left(z\right) = -\dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]
La forme exponentielle
Exponentielle complexe
Pour tout réel \theta, on pose :
e^{i\theta} = \cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)
Forme exponentielle
Soit un nombre complexe z non nul d'argument \theta.
Alors z = |z| e^{i\theta}.
|z| e^{i\theta} est appelée forme exponentielle du nombre complexe z.
Réciproquement, si z = re^{i\theta}, avec r \gt 0 et \theta réel quelconque, alors :
|z| = r
arg\left(z\right) = \theta \left[2\pi\right]
Soient \theta et \theta' deux réels.
- \overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}
- e^{i\left(\theta+\theta'\right)} = e^{i\theta} e^{i\theta'}
- \dfrac{1}{e^{i\theta}}= e^{-i\theta}
- Pour tout entier relatif n : \left(e^{i\theta}\right)^{n} = e^{in\theta} (Cette formule s'appelle "formule de Moivre".)
Formule d'Euler
Soit \theta un réel. Alors :
\cos\left(\theta\right)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} et \sin\left(\theta\right)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
Ces formules permettent de linéariser \left[\cos\left(\theta\right)\right]^n (ou \left[\sin\left(\theta\right)\right]^n ) où n est un entier naturel et \theta un réel quelconque, c'est-à-dire écrire \left[\cos\left(\theta\right)\right]^n (ou \left[\sin\left(\theta\right)\right]^n ) en fonction de \cos\left(\theta\right), \sin\left(\theta\right), \cos\left(2\theta\right), \sin\left(2\theta\right), ..., \cos\left(n\theta\right) et \sin\left(n\theta\right).
L'interprétation géométrique
Distance
Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B} :
AB = |z_{B} - z_{A}|
Soient A et B deux points d'affixes respectives a et b.
L'ensemble des points M (d'affixe z) du plan complexe vérifiant |z-a|=|z-b| est la médiatrice du segment \left[ AB \right].
Autrement dit, si A, B et M sont des points du plan complexe d'affixes respectives a, b et z. Alors M appartient à la médiatrice du segment \left[ AB \right] si, et seulement si, |z-a|=|z-b|.
Soit \Omega (d'affixe \omega) un point du plan complexe et r un réel positif.
L'ensemble des points M (d'affixe z) tels que |z-\omega|=r est le cercle de centre \Omega et de rayon r.
Autrement dit, si \Omega (d'affixe w) est un point du plan complexe et r un réel positif, alors un point M d'affixe z appartient au cercle de centre \Omega et de rayon r si, et seulement si, |z-\omega|=r.
Soit \Omega (d'affixe w) un point du plan complexe et r un réel positif.
L'ensemble des points M (d'affixe z) tels que |z-\omega| \lt r est le disque ouvert de centre \Omega et de rayon r.
L'ensemble des points M (d'affixe z) tels que |z-\omega| \gt r est le plan entier privé du disque de centre \Omega et de rayon r.
Angle
Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B} :
\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}\right) = \arg\left(z_{B} - z_{A}\right) \left[2\pi\right]
Argument d'un quotient (1)
Soient \overrightarrow{v_{1}} et \overrightarrow{v_{2}} deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z_{1} et z_{2} :
\left(\overrightarrow{v_{1}} ; \overrightarrow{v_{2}}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{2}}{z_{1}}\right) \left[2\pi\right]
Argument d'un quotient (2)
Soient A, B et C trois points distincts d'affixes respectives z_{A}, z_{B} et z_{C} :
\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) \left[2\pi\right]