Soit le triangle ABC tel que AB=3{,}5 ; AC=5{,}7 et BC=4.

On souhaite construire l'image A'B'C' du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport -2.

Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à l'image A'B'C' du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport -2 ?

Pourquoi les triangles ABC et A'B'C' sont-ils semblables ?

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport −2.
On a donc :

2 A'B'=AB\\2B'C'=BC\\2 A'C'=AC

Les longueurs des côtés des deux triangles sont donc proportionnelles deux à deux.
On en conclut que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport −2.
On a donc :

A'B'=AB\\B'C'=BC\\A'C'=AC

Les longueurs des côtés des deux triangles sont égales.
On en conclut que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport −2.

On a donc :

A'B'=2AB\\B'C'=2BC\\A'C'=2AC
Les longueurs des côtés des deux triangles sont donc proportionnelles deux à deux.
On en conclut que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport 2.

On a donc :

A'B'=-2AB\\B'C'=-2BC\\A'C'=-2AC
On en conclut que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

On souhaite démontrer que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles deux à deux, alors ces triangles sont semblables.

Les côtés des longueurs de l'image d'une figure par une homothétie de centre O et de rapport k sont multipliés par k si k est positif et par -k si k est négatif.

Ici, on sait que le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport 2.

On a donc, par définition :

A'B'=2AB\\B'C'=2BC\\A'C'=2AC

Les longueurs des côtés des deux triangles sont donc proportionnelles deux à deux.

On en conclut que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

Les triangles ABC et A'B'C' sont donc semblables.