On souhaite montrer que la somme de deux entiers pairs quelconques donne un entier pair.
Quelle est la somme de 26 et 42, et que remarque-t-on ?
26 + 42 = 68
Or, 68 est divisible par 2 donc 68 est un entier pair.
On remarque que la somme de deux entiers pairs positifs est un entier pair.
Quelle est la somme de (-32) et (-64), et que remarque-t-on ?
-32 - 64 = - 96
Or, -96 est un entier divisible par 2 donc -96 est pair.
La somme de deux entiers pairs négatifs est un entier pair.
On sait que lorsqu'un nombre pair se divise par 2, il s'écrit sous la forme 2 n où n est un entier.
On considère deux entiers pairs qui s'écrivent respectivement sous la forme 2 n et 2 p où n et p sont également deux nombres entiers.
Quelle est la nature de la somme de 2 n et 2 p ?
On a deux entiers pairs :
- A=2n
- B=2p
On souhaite connaître la nature de leur somme, paire ou impaire. On a :
A+B=2n+2p\\A+B=2\left(n+p\right)
La somme est paire c'est c'est un multiple de 2.
La somme des deux entiers est égal à 2\left(n+p\right) qui est paire.
Que peut-on conclure ?
On a montrer que pour tout entier n et p, 2n + 2p =2k avec k = n+p.
Or, 2 k est un nombre divisible par 2, donc c'est un entier pair.
La somme de deux entiers pairs est donc un entier pair.