ABC est un triangle quelconque.
I est le milieu du segment \left[BC\right].
On note D le symétrique du point A par rapport au point I.
Construire les images A', B', C' et D' des points A, B, C et D par la translation qui transforme B en C.
Notons \mathcal{T} la translation qui transforme B en C.
- Comme \mathcal{T} est la translation qui transforme B en C, l'image du point B est le point C. Autrement dit, B'=C.
- Comme \mathcal{T} est la translation qui transforme B en C, l'image du point C est le symétrique de B par rapport à C, noté C'.
- Comme \mathcal{T} est la translation qui transforme B en C, l'image du point A est telle que BCA'A soit un parallélogramme.
- Comme \mathcal{T} est la translation qui transforme B en C, l'image du point D est telle que BCD'D soit un parallélogramme.
Déterminer la nature du quadrilatère ABDC.
Dans le quadrilatère ABDC.
Les segments \left[AD\right] et \left[BC\right] sont les diagonales.
On constate également que : I est le milieu des segments \left[AD\right] et \left[BC\right].
Les diagonales du quadrilatère ABDC se coupent donc en leur milieu.
ABDC est donc un parallélogramme.
Que peut-on déduire pour les droites \left(A'C'\right) et \left(B'D'\right) ?
On a montré précédemment que ABDC est un parallélogramme.
Les droites \left(AC\right) et \left(BD\right) sont donc parallèles.
Comme la translation conserve le parallélisme, on en déduit donc que :
Les droites \left(A'C'\right) et \left(B'D'\right) sont parallèles.