Sommaire
IL'écriture décimaleIIL'écriture fractionnaireIIIL'écriture scientifiqueIVLes priorités entre les opérationsL'écriture décimale
L'écriture décimale d'un nombre est l'écriture de ce nombre sous la forme d'un nombre fini de décimales après la virgule.
Écriture décimale
On appelle « écriture décimale » l'écriture d'un nombre sous la forme d'un nombre à virgule ayant un nombre fini de décimales après la virgule.
- 3,141592654 est une écriture décimale.
-
\pi\approx3{,}141592654... n'est pas une écriture décimale car le nombre de chiffres après la virgule est infini.
Il est possible d'ajouter un nombre infini de 0 après la dernière décimale sans changer la valeur du nombre. Par convention, l'écriture décimale d'un nombre s'arrête à la dernière décimale différente de 0.
\dfrac{5}{2} a pour écriture décimale 2,5.
Ce nombre est aussi égal à 2,50 ou 2,50000 par exemple.
Par convention, l'écriture décimale d'un nombre entier ne présente pas de virgule.
4 est une écriture décimale. L'entier 4 vaut également : 4,0 ou 4,00, etc.
L'écriture fractionnaire
Soit le quotient a\div b avec b\neq0. L'écriture fractionnaire du quotient est \dfrac{a}{b}. Si a et b sont des entiers, alors \dfrac{a}{b} est appelée une « fraction ».
Écriture fractionnaire
Soient a et b deux nombres, avec b différent de 0.
L'écriture fractionnaire \dfrac{a}{b} représente le quotient de a par b. Lorsque a et b sont entiers, on dit que \dfrac{a}{b} est une fraction.
17{,}1\div5{,}6 a pour écriture fractionnaire \dfrac{17{,}1}{5{,}6} qui n'est pas une fraction.
-7\div 8 a pour écriture fractionnaire \dfrac{-7}{8} qui est une fraction.
Le dénominateur est toujours différent de 0. La division par 0 n'existe pas.
Tout nombre dont la partie décimale est finie ou périodique (répétition infinie d'une séquence de décimales) admet une écriture fractionnaire.
0{,}33333333...=\dfrac{1}{3}
On procède de la même façon que dans l'exemple précédent.
Si on note a le nombre 0,33333333..., on remarque que 10a a la même partie décimale :
10a=3{,}33333333...
Par conséquent :
10a-a=3
9a=3
En simplifiant par 3, on obtient :
3a=1
Donc :
a=\dfrac{1}{3}
Inversement, un nombre admettant une écriture fractionnaire admet une écriture décimale ou une écriture ayant une partie décimale périodique.
0,66666... admet pour écriture fractionnaire \dfrac{2}{3}.
Un nombre admettant une écriture fractionnaire en admet une infinité, ce qui signifie que plusieurs fractions peuvent être égales au même nombre.
2,45 admet pour écritures fractionnaires (entre autres) \dfrac{245}{100} et \dfrac{49}{20}.
L'écriture scientifique
L'écriture scientifique d'un nombre est l'unique forme a\times 10^n d'un nombre avec 1\leq a<10 et n un entier relatif.
Tout nombre décimal non nul b admet une écriture de la forme suivante :
a\times10^{p}
Avec :
- p entier relatif ;
- 1 \leq a \lt 10 si le nombre est positif ;
- - 10 \lt a \leq -1 si le nombre est négatif.
Cette écriture est unique, elle est appelée « écriture scientifique » du nombre b.
- 312,8 admet pour écriture scientifique 3{,}128\times10^{2}.
- -0,00056 admet pour écriture scientifique -5{,}6\times10^{-4}.
Les priorités entre les opérations
Il existe des règles de priorité entre les opérations afin de simplifier les écritures et ne pas utiliser trop de parenthèses. On effectue les opérations dans l'ordre suivant : les calculs entre parenthèses, les puissances, les multiplications et les divisions, et les additions et les soustractions.
Dans une suite de calculs, on effectue dans l'ordre :
- les calculs entre parenthèses ;
- les puissances ;
- les multiplications et les divisions ;
- les additions et les soustractions.
Pour calculer :
A=13-15\times \left(81\div9-3^2\right)-8
On effectue dans l'ordre les calculs suivants :
A=13-15\times \underbrace{\left(81\div9-3^2\right)}_{\text{Parenthèse}}-8
A=13-15\times\left(81\div9-\underbrace{3^2}_{1^{\text{er}}\text{ calcul}}\right)-8
A=13-15\times\left(\underbrace{81\div9}_{2^{\text{e}}\text{ calcul}}-9\right)-8
A=13-15\times\left(\underbrace{9-9}_{3^{\text{e}}\text{ calcul}}\right)-8
A=13-\underbrace{15\times0}_{4^{\text{e}}\text{ calcul}}-8
A=13-0-8
A=13-8
A=5