Les caractéristiques du parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère qui est défini à partir de ses côtés opposés parallèles ou par ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
Le parallélogramme : un quadrilatère aux côtés opposés parallèles
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme.
Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
ABCD est un parallélogramme : on a \left(AB\right)//\left(CD\right) et \left(AD\right)//\left(BC\right).
Réciproquement, si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Le parallélogramme : un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
On considère un parallélogramme ABCD.
Ainsi, on a (AB)//(DC).
1re étape de la démonstration
La diagonale (AC) forme donc avec les droites (AB) et (DC) deux parallèles coupées par une sécante.
Dans cette configuration, les droites (AB) et (DC) étant parallèles, les angles alternes-internes sont de même mesure.
Ainsi, \widehat{BAC}=\widehat{DCA} et \widehat{DAC}=\widehat{ACB}.
Les triangles ABC et ADC ont donc :
- un côté commun, le côté [AC],
- les deux angles adajcents à ce côté de même mesure.
Ces triangles sont donc isométriques (ou égaux).
Par conséquent, on en déduit :
AB=DC et AD=BC
2e étape de la démonstration
On trace la deuxième diagonale, la droite (BD).
On obtient, à nouveau, deux droites parallèles (AB) et (DC) coupées par une sécante (DB).
Les angles alternes-internes sont donc de même mesure.
On en déduit :
\widehat{BDC}=\widehat{DBA}
Les triangles ABE et DCE vérifient donc :
- AB=DC
- \widehat{EBA}=\widehat{EDC}
- \widehat{EAB}=\widehat{ECD}
Ces triangles ont donc un côté de même longueur et les deux angles adjacents à ce côté de même mesure.
Ils sont donc isométriques (ou égaux).
Par conséquent :
DE=EB
On peut montrer, de la même façon, que les triangles AED et BEC sont isométriques.
On en déduit :
AE=EC
Les diagonales [AC] et [BD] se coupent donc en leur milieu.
Réciproquement, si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
On considère un quadrilatère ABCD dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu, E.
On a donc :
- E est le milieu de [AC] ;
- E est le milieu de [BD].
Le point C est le symétrique du point A par la symétrie de centre E.
Le point D est le symétrique du point B par la symétrie de centre E.
Le segment [DC] est donc le symétrique du segment [AB] par la symétrie de centre E.
Par conséquent, les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
De la même façon, on peut montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Le quadrilatère ABCD a donc ses côtés opposés parallèles.
C'est un parallélogramme.
Les propriétés du parallélogramme
Le parallélogramme a plusieurs propriétés. Le centre d'un parallélogramme est aussi son centre de symétrie. Ses côtés opposés sont de même longueur. Ses angles opposés sont de même mesure. Enfin, ses angles consécutifs sont supplémentaires.
Le centre de symétrie du parallélogramme
Le centre d'un parallélogramme est aussi son centre de symétrie.
Le centre du parallélogramme est son centre de symétrie.
Le point O est le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
Réciproquement, si le centre d'un quadrilatère est son centre de symétrie, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Les côtés opposés de même longueur
Les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur.
Dans le parallélogramme ABCD, AB = CD et BC = DA.
Réciproquement, si les côtés opposés d'un quadrilatère sont de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Les angles opposés de même mesure
Les angles opposés d'un parallélogramme sont de même mesure.
Dans un parallélogramme, les angles opposés sont de même mesure.
Dans le parallélogramme ABCD, \widehat{ABC} = \widehat{CDA}=45° et \widehat{BCD} = \widehat{DAB} = 135°.
Réciproquement, si les angles opposés d'un quadrilatère sont de même mesure, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Les angles consécutifs supplémentaires
Deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires.
Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires.
Dans le parallélogramme ABCD :
- \widehat{ABC} + \widehat{BCD} = 45+135=180^\circ
- \widehat{BCD} + \widehat{CDA} = 135+45=180^\circ
- \widehat{CDA} + \widehat{DAB} = 45+135 =180^\circ
- \widehat{DAB} + \widehat{ABC} = 135+45=180^\circ
Un quadrilatère qui a deux angles consécutifs supplémentaires n'est pas forcément un parallélogramme.
Dans le quadrilatère ABCD, \widehat{BCD} + \widehat{CDA} = 135+45=180^\circ. Pourtant, il s'agit d'un quadrilatère quelconque et non d'un parallélogramme.
L'aire d'un parallélogramme
Pour calculer l'aire d'un parallélogramme, on multiplie la longueur d'une de ses hauteurs par la longueur du côté opposé à cette hauteur.
La hauteur dans un parallélogramme
La hauteur d'un parallélogramme est une droite passant par un sommet du parallélogramme et perpendiculaire au côté opposé. Elle peut être à l'intérieur ou à l'extérieur du parallélogramme.
Hauteur de parallélogramme
Une hauteur d'un parallélogramme est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Couramment, la hauteur se restreint au segment joignant le sommet au côté opposé.
Une hauteur peut être située à l'extérieur du parallélogramme.
La formule de l'aire du parallélogramme
L'aire d'un parallélogramme se calcule à partir de la longueur de l'une de ses hauteurs et de la longueur du côté opposé à cette longueur.
L'aire d'un parallélogramme est égale à longueur d'une hauteur multipliée par la longueur du côté opposé.
Soient A l'aire du parallélogramme, h la hauteur et c le côté opposé à la hauteur, on a :
A=h\times c
Ici, on a h=3 et c=5.
Soit A l'aire du parallélogramme, on a :
A=3\times5=15\text{ cm}
L'aire de ce parallélogramme est égale à 15 cm2.
Les parallélogrammes particuliers
Parmi les quadrilatères connus, certains sont des parallélogrammes particuliers. C'est notamment le cas du losange, du rectangle ou du carré.
Le losange
Le losange est un parallélogramme dont les côtés sont de même longueur et les diagonales perpendiculaires.
Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires et dont les côtés sont de même longueur est un losange.
Le rectangle
Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit ou dont les diagonales sont de même longueur.
Un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle.
Un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle.
Le carré
Un carré est un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange.
Un parallélogramme qui est à la fois un losange et un rectangle est un carré.
Pour montrer qu'un quadrilatère est un carré, on peut par exemple montrer que :
- c'est un parallélogramme ;
- il possède un angle droit ;
- ses diagonales sont perpendiculaires.
On considère le quadrilatère ABCD suivant et E l'intersection de ses diagonales.
Les marques de la figure indiquent :
- AE=EC=BE=ED
- (AC)\perp (BD)
On en déduit que les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
Par conséquent, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur.
C'est donc un rectangle.
Comme ses diagonales sont perpendiculaires, c'est également un losange.
Le parallélogramme ABCD étant à la fois un rectangle et un losange, c'est un carré.