Sommaire
IPrimitives d'une fonction continueIILes primitives des fonctions usuellesIIIOpérations et primitivesPrimitives d'une fonction continue
Primitive
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I qui vérifie, pour tout x de I :
F'\left(x\right) = f\left(x\right)
Soient F la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} et f la fonction définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=x^3-5x+1 et f\left(x\right)=3x^2-5.
On a, pour tout réel x :
F'\left(x\right)=3x^2-5=f\left(x\right)
Donc F est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x\longmapsto F\left(x\right) + k, où k est un réel quelconque.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=8x-\dfrac1x est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=8+\dfrac{1}{x^2}. Toutes les primitives de f sur \mathbb{R} sont donc de la forme :
x\longmapsto8x-\dfrac1x+k, avec k\in\mathbb{R}.
Toute fonction continue sur I admet donc une infinité de primitives sur I.
Les primitives des fonctions usuelles
Soient n un entier et k un réel. La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I. Le tableau suivant donne des primitives des fonctions usuelles :
| f\left(x\right) | F\left(x\right) | I |
|---|---|---|
| k | kx | \mathbb{R} |
| x^{n} | \dfrac{x^{n+1}}{n+1} | si n \geq 1 : \mathbb{R} si n \leq - 2 : \left]- \infty ; 0\right[ et \left]0 ; + \infty \right[ |
| \dfrac{1}{\sqrt{x}} | 2\sqrt{x} | \left]0 ; + \infty \right[ |
| \dfrac{1}{x} | \ln\left(x\right) | \left]0 ; + \infty \right[ |
| e^{x} | e^{x} | \mathbb{R} |
Opérations et primitives
Soit un entier n différent de 0 et -1. On désigne par u une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}. La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.
| f | F | Conditions |
|---|---|---|
| u'u^{n} | \dfrac{u^{n+1}}{n + 1} | si n \leq - 2, u ne s'annule pas sur I |
| \dfrac{u'}{u} | \ln\left(u\right) | u fonction strictement positive |
| \dfrac{u'}{\sqrt{u}} | 2\sqrt{u} | u fonction strictement positive |
| u'e^{u} | e^{u} |