Montrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f Exercice

Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\left(x+3\right)e^{3x+4} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(3x+10\right)e^{3x+4} ?

On calcule F'\left(x\right)=3\left(x+3\right)e^{3x+4}+e^{3x+4}=\left(3x+9+1\right)e^{3x+4}=\left(3x+10\right)e^{3x+4}=f\left(x\right)

Alors F est une primitive de f.

On recherche la primitive de e^{3x+4} qui est \dfrac{1}{3}e^{3x+4} alors en cherchant la primitive de f on trouve \left( \dfrac{1}{3}\left( 3x+9 \right) \right)e^{3x+4}=\left(x+3\right)e^{3x+4} et donc F\left(x\right)=\left(x+3\right)e^{3x+4} est bien une primitive de f.

Si on calcule le dérivée de f on retrouve alors la fonction F et dans ce cas on peut affirmer que la fonction F est une primitive de la fonction f.

Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^x+3}{e^x+1} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2} ?

On calcule la dérivée de F pour tout x réel et on trouve F'\left(x\right)=\dfrac{e^x}{\left( e^x+1 \right)^{2}} et F est une primitive de f.

Si on calcule le dérivée de f on retrouve alors la fonction F et dans ce cas on peut affirmer que la fonction F est une primitive de la fonction f.

On calcule la dérivée de F pour tout x réel et on trouve F'\left(x\right)=-\dfrac{e^x}{\left( e^x+1 \right)^{2}} et F est une primitive de f.

Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\dfrac{1}{40}\left(2x^4-3\right)^5 est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3\left(2x^4-3\right)^4 ?

On calcule la dérivée de F et on trouve F'\left(x\right)=\dfrac{1}{40}\times5\times2\times4x^3\left( 2x^4-3 \right)^{4}=x^3\left( 2x^4-3 \right)^{4}=f\left(x\right)

Donc F est une primitive de f.

Si on calcule le dérivée de f on retrouve alors la fonction F et dans ce cas on peut affirmer que la fonction F est une primitive de la fonction f.

On calcule la primitive de x^3 et on trouve \dfrac{1}{4}x^4

On calcule la primitive de \left( 2x^4-3\right)^{4} et on trouve \dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{2x^4}\left( 2x^4-3 \right)^{5}

D'où la primitive de f est \dfrac{1}{4}x^4\times\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{2x^4}\left( 2x^4-3 \right)^{5}=\dfrac{1}{40}\left( 2x^4-3 \right)^{5}=F\left(x\right)

Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{3}{2} \right\} par F\left(x\right)=-\dfrac{1}{14\left(2x+3\right)^7} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{3}{2} \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(2x+3\right)^8} ?

On calcule la dérivée de F, on trouve F'\left(x\right)=-\dfrac{1}{14}\times\dfrac{-7\times2}{\left( 2x+3 \right)^8} =\dfrac{1}{\left( 2x+3 \right)^8}=f\left(x\right)

Donc F est une primitive de f.

Si on calcule le dérivée de f on retrouve alors la fonction F et dans ce cas on peut affirmer que la fonction F est une primitive de la fonction f.

Si l'on considère que la primitive de \left( 2x+3 \right)^{8} est 14\left( 2x+3 \right)^8 alors la primitive de f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left( 2x+3 \right)^8} devient \dfrac{1}{14\left( 2x+3 \right)^7}

Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\dfrac{x^2+3}{x^2+1} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{4x}{\left(x^2+1\right)^2} ?

On calcule la dérivée de F et on trouve F'\left(x\right)=-\dfrac{2x\left(x^2+1\right)-2x\left(x^2+3\right)}{\left( x^2+1 \right)^2}=-\dfrac{-4x}{\left( x^2+1 \right)^2}=\dfrac{4x}{\left( x^2+1 \right)^2}=f\left(x\right)

et donc F est bien une primitive de f.

Si on calcule le dérivée de f on retrouve alors la fonction F et dans ce cas on peut affirmer que la fonction F est une primitive de la fonction f.

On calcule la dérivée de F et on trouve \dfrac{2x\left(x^2+3\right)-2x\left(x^2+1\right)}{\left( x^2+1 \right)^2}=\dfrac{4x}{\left( x^2+1 \right)^2}=f\left(x\right)

et donc F est bien une primitive de f.

Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R}^* par F\left(x\right)=\dfrac{x^6}{6}+x^3-\dfrac{x^2}{2}+7x-\dfrac{3}{x} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R}^* par f\left(x\right)=x^5+3x^2-x+7+\dfrac{3}{x^2} ?

On calcule la dérivée de F et on trouve F'\left(x\right)=\dfrac{6x^5}{6}+3x^2-\dfrac{2x}{2}+7-\dfrac{-3}{x^2}=x^5+3x^2-x+7+\dfrac{3}{x^2}=f\left(x\right)

Donc F est une primitive de f.

Si on calcule le dérivée de f on retrouve alors la fonction F et dans ce cas on peut affirmer que la fonction F est une primitive de la fonction f.

Si on détermine la primitive de chacun des termes de f on trouve \dfrac{x^6}{6}+3\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+7x+\dfrac{3}{x}=\dfrac{x^6}{6}+x^3-\dfrac{x^2}{2}+7x+\dfrac{3}{x}, ce qui est bien l'expression de F. Donc F est bien une primitive de f.

Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=\dfrac{x^4}{2}-e^x+4\ln\left(x\right) est une primitive de la fonction f définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=2x^3-e^x+\dfrac{4}{x} ?

On calcule la dérivée de F et on trouve F'\left(x\right)=\dfrac{4x^3}{2}-e^x+4\dfrac{1}{x}=2x^3-e^x+\dfrac{4}{x}=f\left(x\right) et donc F est une primitive de f.

Si on calcule le dérivée de f on retrouve alors la fonction F et dans ce cas on peut affirmer que la fonction F est une primitive de la fonction f.

On cherche une primitive de f en utilisant les primitives des fonctions usuelles et on trouve \dfrac{2x^4}{4}-e^x+\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^4}{2}-e^x+\dfrac{4}{x^2} soit F et ainsi F est bien une primitive de f.