Sommaire
IPrimitives d'une fonction continueIILes primitives des fonctions usuellesIIIOpérations et primitivesPrimitives d'une fonction continue
Primitive
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I qui vérifie, pour tout réel x de I :
F'\left(x\right) = f\left(x\right)
Soient F et f, deux fonctions définies et dérivables sur \mathbb{R}, telles que, pour tout réel x :
- F\left(x\right)=x^3-5x+1
- f\left(x\right)=3x^2-5
On a, pour tout réel x, F'\left(x\right)=3x^2-5=f\left(x\right). Donc F est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x\longmapsto F\left(x\right) + k, où k est un réel quelconque.
La fonction définie sur \mathbb{R}_+^* par F\left(x\right)=8x-\dfrac1x est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R}_+^* de la fonction f\left(x\right)=8+\dfrac{1}{x^2}. Toutes les primitives de f sur \mathbb{R}_+^* sont donc de la forme :
x\longmapsto8x-\dfrac1x+k avec k\in\mathbb{R}
Une fonction continue sur un intervalle I admet donc une infinité de primitives sur I.
Les primitives des fonctions usuelles
Soit un entier n et un réel k. La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.
| f\left(x\right) | F\left(x\right) | I |
|---|---|---|
| k | kx | \mathbb{R} |
| x^{n} | \dfrac{x^{n+1}}{n+1} | si n \geq 1 \text{ }:\text{ } \mathbb{R} si n \leq - 2\text{ } : \text{ }\left]- \infty ; 0\right[ et \left]0 ; + \infty \right[ |
| \dfrac{1}{\sqrt{x}} | 2\sqrt{x} | \left]0 ; + \infty \right[ |
| \dfrac{1}{x} | \ln\left(x\right) | \left]0 ; + \infty \right[ |
| e^{x} | e^{x} | \mathbb{R} |
| \sin\left(x\right) | - \cos\left(x\right) | \mathbb{R} |
| \cos\left(x\right) | \sin\left(x\right) | \mathbb{R} |
| \sin\left(ax+b\right) | -\dfrac{1}{a}\cos\left(ax+b\right) | \mathbb{R}, avec a \neq 0 |
| \cos\left(ax+b\right) | \dfrac{1}{a}\sin\left(ax+b\right) | \mathbb{R}, avec a \neq 0 |
Opérations et primitives
Soit un entier n différent de 0 et -1. On désigne par u une fonction dérivable sur l'intervalle I ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.
| f | F | Conditions |
|---|---|---|
| u'u^{n} | \dfrac{u^{n+1}}{n + 1} | si n \leq- 2, u\left(x\right) \neq 0 sur I |
| \dfrac{u'}{u} | \ln\left(u\right) | u \gt 0 |
| \dfrac{u'}{\sqrt{u}} | 2\sqrt{u} | u \gt 0 |
| u'e^{u} | e^{u} | |
| u'\sin\left(u\right) | - \cos\left(u\right) | |
| u'\cos\left(u\right) | \sin\left(u\right) |