Les nombres 2263 et 1892 sont-ils premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
On détermine donc le PGCD de 2263 et 1892.
Pour cela on utilise l'algorithme d'Euclide :
2\ 263 = 1\ 892 \times 1+ 371
1\ 892 = 371 \times 5 + 37
371 = 37\times 10 +1
37 = 37 \times 1 + 0
Donc :
PGCD \left(2\ 263 ; 1\ 892\right) = 1
Les nombres 2263 et 1892 sont premiers entre eux.
Les nombres 1367 et 1284 sont-ils premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
On détermine donc le PGCD de 1367 et 1284.
Pour cela on utilise l'algorithme d'Euclide :
1\ 367= 1\ 284\times 1+ 83
1\ 284= 83\times 15 + 39
83= 39\times 2 +5
39 = 5 \times 7 + 4
5=4\times 1 +1
4=1\times 4 +0
Donc :
PGCD \left(1\ 367; 1\ 284\right) = 1
Les nombres 1367 et 1284 sont premiers entre eux.
Les nombres 10 453 et 2824 sont-ils premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
On détermine donc le PGCD de 10 453 et 2824.
Pour cela on utilise l'algorithme d'Euclide :
10\ 453= 2\ 824\times 3+ 1\ 981
2\ 824= 1\times 1\ 981+ 843
1\ 981= 2\times 843 +295
843= 2 \times 295 + 253
295=1\times 253 +42
253=42\times 6 +1
42=1\times42 +0
Donc :
PGCD \left(10\ 453; 2\ 824\right) = 1
Les nombres 10 453 et 2824 sont premiers entre eux.
Les nombres 6516 et 2481 sont-ils premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
On détermine donc le PGCD de 6516 et 2481.
Pour cela on utilise l'algorithme d'Euclide :
6\ 516= 2\ 481\times 2+ 1\ 554
2\ 481= 1\ 554\times 1+ 927
1\ 554= 927\times 1+627
927= 627 \times 1+ 300
627=300\times 2+27
300=27\times 11 +3
27=3\times9 +0
Donc :
PGCD \left(6\ 516; 2\ 481\right) = 3
Les nombres 6516 et 2481 ne sont pas premiers entre eux.
On considère a et b deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.
a et \left(a+b\right) sont-ils premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
On pose PGCD \left(a ; a+b\right) = d
On sait que d divise a et que d divise \left(a+b\right), donc d divise tout combinaison linéaire de a et \left(a+b\right) , notamment d divise \left(a+b -a\right).
Or a+b -a=b
Donc d divise b.
Or on sait que d divise a.
Ainsi, d divise a et b.
D'après l'énoncé, on sait que a et b sont premiers entre eux, donc que PGCD \left(a ; b\right) = 1.
On en déduit que d = 1.
Finalement PGCD \left(a ; a+b\right) = 1
Les entiers a et \left(a+b\right) sont premiers entre eux.
On considère n un entier naturel non nul.
n et 3n+1 sont-ils premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
On pose PGCD \left(n ; 3n+1\right) = d
On sait que d divise n et que d divise \left(3n+1\right), donc d divise tout combinaison linéaire de n et \left(3n+1\right) , notamment d divise \left(-3n+3n+1\right).
Or \left(-3n+3n+1\right) = 1
Donc d divise 1.
Et comme le seul diviseur positif de 1 est 1, on a d=1
Finalement PGCD \left(n ; 3n+1\right) = 1
Les entiers n et \left(3n+1\right) sont premiers entre eux.
On considère n un entier naturel non nul.
3n+4 et 4n+5 sont-ils premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
On pose PGCD \left(3n+4 ; 4n+5\right) = d
On sait que d divise \left(3n+4\right) et que d divise \left(4n+5\right), donc d divise tout combinaison linéaire de \left(3n+4\right) et \left(4n+5\right) , notamment d divise 4\left(3n+4\right)-3\left(4n+5\right).
Or 4\left(3n+4\right)-3\left(4n+5\right) = 12n+16-12n-15 = 1
Donc d divise 1.
Et comme le seul diviseur positif de 1 est 1, on a d=1
Finalement PGCD \left(3n+4 ; 4n+5\right) = 1
Les entiers \left(3n+4\right) et \left(4n+5\right) sont premiers entre eux.