Limites de fonctions
Limites et opérations
Limite d'une somme
On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L et L' deux réels.
Les fonctions f, g et f + g sont définies au voisinage de \alpha .
| Limite de f en \alpha | L | L | L | + \infty | - \infty | + \infty |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de g en \alpha | L' | + \infty | - \infty | + \infty | - \infty | - \infty |
| Limite de f + g en \alpha | L + L' | + \infty | - \infty | + \infty | - \infty | ? |
Limite d'un produit
On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L et L' deux réels.
Les fonctions f, g et f \times g sont définies au voisinage de \alpha .
| Limite de f en \alpha | L | L \gt 0 | L \lt 0 | L \gt 0 | L \lt 0 | + \infty | - \infty | + \infty | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de g en \alpha | L' | + \infty | + \infty | - \infty | - \infty | + \infty | - \infty | - \infty | \pm \infty |
| Limite de f \times g en \alpha | L \times L' | + \infty | - \infty | - \infty | + \infty | + \infty | + \infty | - \infty | ? |
Limite d'un quotient
On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L et L' deux réels.
Les fonctions f, g et \dfrac{f}{g} sont définies au voisinage de \alpha .
| Limite de f en \alpha | L | L | + \infty | + \infty | - \infty | - \infty | 0 | \pm \infty | L \gt 0 ou + \infty | L \lt 0 ou - \infty | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de g en \alpha | L' \neq 0 | \pm \infty | L' \gt 0 | L' \lt 0 | L' \gt 0 | L' \lt 0 | 0 | \pm \infty | 0^{+} | 0^{-} | 0^{+} | 0^{-} |
| Limite de \dfrac{f}{g} en \alpha | \dfrac{L}{L'} | 0 | + \infty | - \infty | - \infty | + \infty | ? | ? | + \infty | - \infty | - \infty | + \infty |
Il existe 4 formes indéterminées : " \infty-\infty " ; " 0\times \infty " ; " \dfrac{\infty}{\infty} " ; " \dfrac00 ".
Les formes indéterminées, sont les configurations pour lesquelles les règles opératoires sur les limites ne permettent pas de conclure. Il faut alors modifier l'expression pour en déterminer la limite.
Voici quelques techniques qui peuvent s'avérer utiles pour "lever une indétermination".
- Lorsque f est une fonction polynôme, en cas d'indétermination, on peut déterminer sa limite en \pm\infty en factorisant l'expression par le terme de plus haut degré.
- Lorsque f est une fonction rationnelle, en cas d'indétermination, on peut déterminer sa limite en \pm\infty en factorisant numérateur et dénominateur de l'expression par les termes de plus haut degré, puis en simplifiant le résultat obtenu.
- Dans le cas d'une indétermination du type \dfrac{0}{0} pour la limite en un réel a, on peut parfois montrer que l'expression est du type \dfrac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a} où g est une fonction dérivable de dérivée connue. Dans ce cas, la définition de g'\left(a\right) permet de conclure.
Limite d'une fonction composée
Soit f une fonction définie sur J, et g une fonction définie sur I à valeurs dans J.
La fonction f\circ g (se lit "f rond g") est la fonction définie sur I par f\circ g\left(x\right)=f\left[g\left(x\right)\right].
Si \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = \beta et \lim\limits_{x \to \beta } f\left(x\right) = \gamma alors \lim\limits_{x \to \alpha } f\circ g\left(x\right) = \gamma.
Limites et ordre
Théorème d'encadrement
Soient f, g et h trois fonctions telles que sur un voisinage de \alpha , f\left(x\right) \leq g\left(x\right) \leq h\left(x\right).
Si \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = L et \lim\limits_{x \to \alpha } h\left(x\right) = L alors \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = L.
Théorème de comparaison (1)
Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de \alpha , f\left(x\right) \leq g\left(x\right).
Si \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = L et \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = L' alors L \leq L'.
Théorème de comparaison (2)
Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de \alpha , f\left(x\right) \leq g\left(x\right) :
- Si \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = + \infty , alors \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = + \infty .
- Si \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = - \infty , alors \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = - \infty .
Asymptotes
Asymptote horizontale en \pm\infty
La droite d'équation y = L est asymptote horizontale à C en + \infty (resp. en -\infty ) si et seulement si :
\lim\limits_{x \to +\infty } f\left(x\right) = L (resp. \lim\limits_{x\to -\infty} f\left(x\right)=L )
Pour étudier la position relative entre la courbe d'une fonction f et une asymptote horizontale (à cette courbe) d'équation y=L, on étudie le signe de \left(f\left(x\right)-L\right).
Asymptote verticale
La droite d'équation x = a est asymptote verticale à C si et seulement si :
\lim\limits_{x \to a^{-}} f\left(x\right) = \pm \infty
ou \lim\limits_{x \to a^{+}} f\left(x\right) = \pm \infty
Dérivation
Dérivées des fonctions usuelles
Soient un réel \lambda et un entier naturel n ; on désigne par D_{f} le domaine de définition de f et par D_{f'} son domaine de dérivabilité.
| f\left(x\right) | f'\left(x\right) | D_{f} | D_{f'} |
|---|---|---|---|
| \lambda | 0 | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| x | 1 | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| x^{n} \left(n \geq 1\right) | nx^{n-1} | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| \dfrac{1}{x^n}\left(n \geq 1\right) | -\dfrac{n}{x^{n+1}} | \mathbb{R}^{*} | \mathbb{R}^{*} |
| \sqrt{x} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} | \mathbb{R}^{+} | \mathbb{R}^{+{\textcolor{Red}*}} |
Dérivées et opérations
Soit un réel \lambda, on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
| f | f' |
|---|---|
| \lambda u | \lambda u' |
| u + v | u' + v' |
| uv | u'v + uv' |
| \dfrac{1}{u} (si u ne s'annule pas sur I ) | -\dfrac{u'}{u^2} |
| \dfrac{u}{v} (si v ne s'annule pas sur I) | \dfrac{u'v–uv'}{v^2} |
| u^{n} \left(n \geq 1\right) | nu'u^{n-1} |
| \dfrac{1}{u^n} \left(n\geq 1\text{, et }u\text{ ne s'annulant pas sur }I\right) | \dfrac{-n\times u'}{u^{n+1}} |
| \sqrt{u} (soit u\left(x\right) {\textcolor{Red}\gt} 0 pour tout x appartenant à I, soit u \gt 0 ) | \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} |
Dérivées et variations
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, inclus dans son ensemble de définition.
- Si f' \gt 0 sur I, sauf peut-être en un nombre fini de valeurs pour lesquelles f' s'annule, alors f est strictement croissante sur I.
- Si f' \lt 0 sur I, sauf peut-être en un nombre fini de valeurs pour lesquelles f' s'annule, alors f est strictement décroissante sur I.
- Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
La réciproque de chacune des assertions précédentes est vraie.
Soient f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de \mathbb{R} et c un réel de I.
- Si f\left(c\right) est un extremum local, alors f'\left(c\right)=0.
- Si f' s'annule en c en changeant de signe, alors f\left(c\right) est un extremum local.
Équation de la tangente à la courbe d'une fonction en un point donné
Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un réel de I.
Alors la courbe de f admet une tangente au point d'abscisse a.
Cette tangente admet pour équation :
y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)
Après avoir déterminé l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f en un point d'abscisse a, on demande souvent d'étudier la position relative entre courbe de f et sa tangente.
Si la tangente admet pour équation y=\alpha x+\beta, avec \alpha et \beta réels, il s'agit alors d'étudier le signe de :
f\left(x\right)-\left(\alpha x+\beta\right)
Continuité
Fonction continue
Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.
Une fonction f est continue en un réel a si et seulement si : \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right).
Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. Attention, la réciproque est fausse.
Théorème des valeurs intermédiaires
Soient f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle.
Alors, pour tout réel k compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que : f\left(c\right) = k.
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
- Si f est continue sur \left[a ; b\right] et si f\left(a\right) et f\left(b\right) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.
- Si f est continue et strictement monotone sur \left[a ; b\right], alors pour tout réel k compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : f\left(c\right) = k.
On demande souvent de déterminer un encadrement d'amplitude donné (ou une valeur approchée à une précision donnée) d'une solution d'une équation du type f\left(x\right)=k.
- On peut utiliser une méthode de balayage avec plusieurs tableaux de valeurs (de plus en plus précis) de la fonction f obtenus avec la calculatrice.
- On peut également utiliser la méthode de dichotomie vue en classe.
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur \mathbb{R} telle que f'=f et f\left(0\right)=1.
On la note exp ou x\mapsto \text{e}^x.
Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Soient deux réels x et y, et un entier n.
- e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y
- e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y
- e^{x+y} = e^{x} e^{y}
- e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}
- e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^{y}}
- \left(e^{x}\right)^{n} = e^{nx}
Limites de la fonction exponentielle
\lim\limits_{x \to -\infty } e^{x} = 0
\lim\limits_{x \to +\infty } e^{x} = + \infty
Limites : croissances comparées
\lim\limits_{x \to -\infty } x e^{x} = 0
\lim\limits_{x \to +\infty }\dfrac{e^x}{x}= + \infty
Limite : taux d'accroissement en 0
\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{x} - 1}{x}= 1
Dérivées
La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R}.
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors e^u=exp\circ u est dérivable sur I.
Les dérivées sont données par :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| e^x | e^x |
| e^{u} | u'e^{u} |
Fonction logarithme népérien
Fonction logarithme népérien
Pour tout réel x \gt 0, il existe un unique réel y tel que e^y=x.
Ce réel y est noté \ln\left(x\right) et on appelle fonction logarithme népérien la fonction f définie sur \mathbb{R}^{+*} par f\left(x\right)=\ln\left(x\right).
- Pour tout réel x : \ln\left(e^{x}\right) = x.
- Pour tout réel x strictement positif : e^{\ln\left(x\right)} = x.
Propriétés algébriques de la fonction ln
Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :
- \ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)
- \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)
- \ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)
- \ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)
- \ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)
Limites de la fonction ln
\lim\limits_{x \to 0^+} \ln\left(x\right) = - \infty
\lim\limits_{x \to +\infty } \ln\left(x\right) = + \infty
Limites : croissances comparées
\lim\limits_{x \to +\infty }\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}= 0
\lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln\left(x\right) = 0
Limite : taux d'accroissement en 1 et 0
\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{\ln\left(x\right)}{x-1}= 1 et \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}=1
Dérivées
La fonction logarithme népérien est dérivable sur \mathbb{R}_+^{\star}.
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors \ln\left(u\right)=\ln\circ u est dérivable sur I.
Les dérivées sont données par :
Dérivées
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \ln\left(x\right) | \dfrac1x |
| \ln\left(u\right) | \dfrac{u'}{u} |
Logarithme décimal
La fonction logarithme décimal, notée \log, est définie sur \mathbb{R}^{+*} par :
\log\left(x\right) =\dfrac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(10\right)}
Fonctions trigonométriques
Parité et périodicité
Fonction paire
Soit f une fonction définie sur I. Si :
- I est symétrique par rapport à 0
- Et pour tout x\in I, f\left(-x\right)=f\left(x\right)
Alors la fonction f est paire.
La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.
Fonction impaire
Soit f une fonction définie sur I. Si :
- I est symétrique par rapport à 0
- Et pour tout x\in I, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
Alors la fonction f est impaire.
La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Fonction périodique
Soit f une fonction définie sur I. S'il existe un réel T strictement positif, tel que :
- Pour tout x\in I, x+T\in I
- Et f\left(x+T\right)=f\left(x\right)
Alors la fonction f est périodique de période T. On dit aussi qu'elle est T-périodique.
Fonction sinus
Fonction sinus
La fonction sinus f, définie sur \mathbb{R}, est égale à :
f\left(x\right) = \sin\left(x\right)
- La fonction sinus est impaire.
- La fonction sinus est 2\pi -périodique.
- La fonction sinus est toujours comprise entre -1 et 1.
- La fonction sinus est dérivable et continue sur \mathbb{R}.
- Pour tout réel x, \sin'\left(x\right)=\cos\left(x\right).
Taux d'accroissement et limite
En reconnaissant le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0 :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x\right)}{x} = \sin'\left(0\right) = \cos\left(0\right) = 1
Fonction cosinus
Fonction cosinus
La fonction cosinus f, définie sur \mathbb{R}, est égale à :
f\left(x\right) = \cos\left(x\right)
- La fonction cosinus est paire.
- La fonction cosinus est 2\pi -périodique.
- La fonction cosinus est toujours comprise entre -1 et 1.
- La fonction cosinus est dérivable et continue sur \mathbb{R}.
- Pour tout réel x, \cos'\left(x\right)=-\sin\left(x\right).
Primitives
Primitives des fonctions usuelles
Soient un entier n, k un réel ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.
| f\left(x\right) | F\left(x\right) | I |
|---|---|---|
| k | kx | \mathbb{R} |
| x^{n} | \dfrac{x^{n+1}}{n+1} | si n \geq 1 \text{ }:\text{ } \mathbb{R} si n \leq - 2\text{ } : \text{ }\left]- \infty ; 0\right[ ou \left]0 ; + \infty \right[ |
| \dfrac{1}{\sqrt{x}} | 2\sqrt{x} | \left]0 ; + \infty \right[ |
| \dfrac{1}{x} | \ln\left(x\right) | \left]0 ; + \infty \right[ |
| e^{x} | e^{x} | \mathbb{R} |
| \sin\left(x\right) | - \cos\left(x\right) | \mathbb{R} |
| \cos\left(x\right) | \sin\left(x\right) | \mathbb{R} |
| \sin\left(ax+b\right) | -\dfrac{1}{a}\cos\left(ax+b\right) | \mathbb{R}, avec a \neq 0 |
| \cos\left(ax+b\right) | \dfrac{1}{a}\sin\left(ax+b\right) | \mathbb{R}, avec a \neq 0 |
Opérations et primitives
Soit un entier n différent de 0 et -1. On désigne par u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle I ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.
| f | F | Conditions |
|---|---|---|
| u'u^{n} | \dfrac{u^{n+1}}{n + 1} | si n \leq- 2 \text{ }:\text{ } u\left(x\right) \neq 0 |
| \dfrac{u'}{u} | \ln\left(u\right) | u \gt 0 |
| \dfrac{u'}{\sqrt{u}} | 2\sqrt{u} | u \gt 0 |
| u'e^{u} | e^{u} | |
| u'\sin\left(u\right) | - \cos\left(u\right) | |
| u'\cos\left(u\right) | \sin\left(u\right) |
Intégrales
Aires et intégrales
Intégrale d'une fonction continue positive
Soient f une fonction continue et positive sur un intervalle \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b.
Intégrale d'une fonction continue négative
Soient f une fonction continue et négative sur un intervalle \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b.
Intégrale d'une fonction continue
Soient f une fonction continue sur un intervalle \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à la différence entre la somme des aires où f est positive et la somme des aires où f est négative.
Aire entre deux courbes
Soient f et g deux fonctions continues sur \left[a ; b\right]. L'aire située entre les courbes de f et g sur \left[a ; b\right] est égale à :
\int_{a}^{b}\left| f\left(x\right)-g\left(x\right) \right| \ \mathrm dx
Avec les notations précédentes, si sur l'intervalle \left[a;b\right], on a f\left(x\right)\leq g\left(x\right), alors l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par les courbes des deux fonctions puis les droites d'équations x=a et x=b est égale à :
\int_{a}^{b}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)\text{d}x
Propriétés de l'intégrale
Valeur moyenne d'une fonction
On appelle valeur moyenne de f sur \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right) le réel :
\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a, b et c trois réels de I, et k un réel quelconque.
- \int_{a}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0
- \int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = - \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
- \int_{a}^{b} kf\left(x\right) \ \mathrm dx = k \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
- Relation de Chasles : \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
- Linéarité : \int_{a}^{b} \left(f\left(x\right) + g\left(x\right)\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que a \leq b, m et M deux réels tels que m \leq f \leq M sur \left[a ; b\right].
- Positivité : si f \geq 0 sur \left[a ; b\right], alors \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \geq 0.
- Comparaison : si f \leq g sur \left[a ; b\right], alors \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx .
- Inégalité de la moyenne : m \left(b - a\right) \leq \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq M \left(b - a\right).
Primitives et intégrales
Intégrale et primitive
Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I, a et b deux réels de I :
\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = F\left(b\right) - F\left(a\right)
Primitive qui s'annule en a
Soient f une fonction continue sur I, et a un réel de I.
La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f qui s'annule en a :
F\left(x\right) =\int_{a}^{x}f\left(t\right) \ \mathrm dt