Soit f la fonction définie sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\ln\left(x\right).
Pour tout réel a strictement positif, on définit sur \left]0;+\infty\right[ la fonction g_a par g_a\left(x\right)=ax^2.
On note \mathscr{C} la courbe représentative de la fonction f et \Gamma_a celle de la fonction g_a dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes \mathscr{C} et \Gamma_a suivant les valeurs du réel strictement positif a.
On a construit ci-dessous les courbes \mathscr{C}, \Gamma_{0{,}05}, \Gamma_{0{,}1}, \Gamma_{0{,}19} et \Gamma_{0{,}4}.
Quelles sont les différentes courbes sur le graphique ?
Pour nommer les différentes courbes sur le graphique, il suffit de remarquer que : g_{a}\left(1\right)=a et que \ln\left(1\right)=0, on obtient donc en partant de haut en bas les courbes :
- \Gamma_{0{,}4}
- \Gamma_{0{,}19}
- \Gamma_{0{,}1}
- \Gamma_{0{,}05}
Pour finir, la courbe qui s'annule au point d'abscisse 1 est la courbe \mathscr{C}.
Dans quelle proposition a-t-on correctement utilisé le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de \mathscr{C} et \Gamma_a selon les valeurs du réel a ?
D'après le graphique, on constate que :
la courbe \Gamma_{0{,}4} et la courbe \mathscr{C} ne semblent pas être sécantes.
La courbe \Gamma_{0{,}19} semble tangente à la courbe \mathscr{C}.
Pour finir, on constate que les courbes \Gamma_{0{,}1} et \Gamma_{0{,}05} semble être sécantes à la courbe \mathscr{C} en deux points.
On peut donc émettre la conjecture suivantes :
- Si on a, a \gt 0{,}19 alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} ne sont pas sécantes.
- Si on a, a=0{,}19, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en un point.
- Si on a, a\in\left]0;0{,}19\right[, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en deux points.
Pour un réel a strictement positif, on considère la fonction h_a définie sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ par h_a\left(x\right)=\ln\left(x\right)-ax^2.
Dans quelle proposition justifie-t-on correctement que x est l'abscisse d'un point M appartenant à l'intersection de \mathscr{C} et \Gamma_a si et seulement si h_a\left(x\right)=0 ?
Soit a \gt 0, on considère un point M\left(x;y\right).
On a :
M\in\Gamma_a\cap\mathscr{C}
\Leftrightarrow \ln\left(x\right)=ax^2
\Leftrightarrow \ln\left(x\right)-ax^2=0
\Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0
- On a donc montré : M\left(x;y\right)\in\Gamma_a\cap \mathscr{C} \Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0.
On admet que la fonction h_a est dérivable sur \left]0;+\infty\right[, et on note h_a' la dérivée de h_a sur cet intervalle.
Le tableau de variations de la fonction h_a est donné ci-dessous.
Dans quelle proposition justifie-t-on correctement le signe de h_a'\left(x\right) pour x appartenant à \left]0;+\infty\right[ ?
D'après l'énoncé, on admet que h_a est dérivable sur \left]0;+\infty\right[ et on note h_a' sa dérivé.
Pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, et pour tout a \gt 0, on a :
h'_a\left(x\right)=\cfrac{1}{x}-2ax=\cfrac{1-2ax^2}{x}
Or, x \gt 0 et a \gt 0, la signe de la dérivée dépend donc uniquement du numérateur.
De plus, pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, et pour tout a \gt 0,
1-2ax^2=0 \Leftrightarrow x^2=\cfrac{1}{2a} car a \gt 0
Donc :
x^2=\cfrac{1}{2a} \Leftrightarrow x=\cfrac{1}{\sqrt{2a}} \text{ ou } x=-\cfrac{1}{\sqrt{2a}}
Comme x \gt 0, on a donc :
x^2=\cfrac{1}{2a} \Leftrightarrow x=\cfrac{1}{\sqrt{2a}}
Comme 1-2ax^2 avec a>0, est un polynôme de degrés deux, son signe à l'intérieur de l'intervalle délimité par les racines est le signe contraire de -2a. Il est donc positif et négatif à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines.
- Pour tout x\in\left]0;\cfrac{1}{2a}\right];\quad g'_a\left(x\right)\geq 0 et pour tout x \gt \cfrac{1}{\sqrt{2a}};\quad g'_a\left(x\right) \lt 0.
Rappeler la limite de \dfrac{\ln\left(x\right)}{x} en +\infty.
Dans quelle proposition en déduit-on la limite de la fonction h_a en +\infty ?
D'après le cours, on sait que \lim\limits_{x \to +\infty} \cfrac{\ln\left(x\right)}{x}=0.
Soit a>0.
On peut écrire h_a d'une autre manière :
Pour tout x>0 :
h_a \left(x\right)=x\left(\cfrac{\ln\left(x\right)}{x}-ax\right)
Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} \left(-ax\right)=-\infty car a>0
D'après ce qui précède, on a donc :
\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\cfrac{\ln\left(x\right)}{x} -ax\right)=-\infty
Donc par produit des limites, on obtient :
\lim\limits_{x \to +\infty}x\left(\cfrac{\ln\left(x\right)}{x} -ax\right)=-\infty
- \lim\limits_{x \to +\infty} h_a\left(x\right)=-\infty
Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a=0{,}1.
Dans quelle proposition justifie-t-on correctement que dans l'intervalle \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[, l'équation h_{0{,}1}\left(x\right)=0 admet une unique solution ?
On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle \left]\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}};+\infty\right[.
On pose a=0{,}1.
On a donc pour tout x \gt 0, h_{0{,}1}\left(x\right)=\ln\left(x\right)-0{,}1x^2.
D'après ce qui précède :
- h_{0{,}1} est continue (car dérivable) sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[
- h_{0{,}1} est strictement croissante sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[
- \lim\limits_{x\to 0^+}h_{0{,}1}\left(x\right)=-\infty et h\left(\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right)=\dfrac{\ln\left(5\right)}{2}-0{,}5\approx 0{,}3 \gt 0, donc 0\in h_{0{,}1}\left(\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[\right)
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h_{0{,}1}\left(x\right)=0 admet une unique solution sur \left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[.
L'équation h_{0{,}1}\left(x\right)=0 admet donc une unique solution sur l'intervalle \left]0;\cfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[.
Quel est le nombre de points d'intersection de \mathscr{C} et de \Gamma_{0{,}1} ?
D'après la question précédente, les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{0{,}1} ont un point d'intersection sur \left]0;\cfrac{1}{\sqrt{0{,}2}}\right[ et un autre point d'intersection sur \left]\cfrac{1}{\sqrt{0{,}2}};+\infty\right[.
- Les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{0{,}1} ont donc deux points d'intersection.
Dans cette question, et uniquement dans cette question, on suppose que a=\dfrac{1}{2e}.
Quelle est la valeur du maximum de h_{\frac{1}{2e}} ?
On pose a=\cfrac{1}{2e}, d'après la question 4)a. Le tableau de variations nous donne le maximum de h_{\frac{1}{2e}} qui est égal à \cfrac{-1-\ln\left(\cfrac{1}{e}\right)}{2}=\cfrac{-1+\ln\left(e\right)}{2}=\cfrac{-1+1}{2}=0.
- Le maximum de la fonction h_{\frac{1}{2e}} est nul.
Dans quelle proposition en déduit-on le nombre de points d'intersection des courbes \mathscr{C} et \Gamma_{\frac{1}{2e}} ?
D'après les questions précédentes :
- On a : \lim\limits_{x \to 0\atop x \gt 0} h_{\frac{1}{2e}}\left(x\right)=-\infty.
- Le maximum de h_{\frac{1}{2e}} est nul.
On en déduit donc que pour tout x>0 :
h_{\frac{1}{2e}}\left(x\right)\leq 0 \Leftrightarrow \ln\left(x\right)-\cfrac{x^2}{2e}\leq 0 \Leftrightarrow \ln\left(x\right)\leq \cfrac{x^2}{2e}
avec h_{\frac{1}{2e}}\left(x\right) \lt 0 pour x\neq\cfrac{1}{\sqrt{2\dfrac{1}{2e}}}=\sqrt{e}
Ce qui signifie que la courbe \mathscr{C} est en dessous de la courbe \Gamma_{\frac{1}{2e}} sur \left]0;+\infty\right[ et qu'elles ont un seul point d'intersection, le point d'abscisse x=\cfrac{1}{\sqrt{2\dfrac{1}{2e}}}=\sqrt{e}.
- Les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{\frac{1}{2e}} ont un seul point d'intersection, le point d'abscisse \sqrt{e}.
Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles \mathscr{C} et \Gamma_a n'ont aucun point d'intersection ?
Pour que les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'aient pas de point d'intersection, il faut que h_a\left(x\right) \lt 0.
Autrement dit :
h_a\left(x\right) \lt 0
\Leftrightarrow \cfrac{-1-\ln\left(2a\right)}{2} \lt 0
\Leftrightarrow-1-\ln\left(2a\right)\lt 0
\Leftrightarrow \ln\left(2a\right) \gt- 1
\Leftrightarrow e^{\ln\left(2a\right) }\gt e^{- 1} \qquad\text{Par stricte croissance de la fonction exponentielle}
\Leftrightarrow 2a\gt e^{- 1}
\Leftrightarrow a\gt \cfrac{e^{- 1}}{2}
- Si a \gt \cfrac{1}{2e}, les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'ont pas de point d'intersection.