Soit f la fonction définie sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\ln\left(x\right).
Pour tout réel a strictement positif, on définit sur \left]0;+\infty\right[ la fonction g_a par g_a\left(x\right)=ax^2.
On note \mathscr{C} la courbe représentative de la fonction f et \Gamma_a celle de la fonction g_a dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes \mathscr{C} et \Gamma_a suivant les valeurs du réel strictement positif a.
On a construit ci-dessous les courbes \mathscr{C}, \Gamma_{0{,}05}, \Gamma_{0{,}1}, \Gamma_{0{,}19} et \Gamma_{0{,}4}.
Quelles sont les différentes courbes sur le graphique ?
Pour nommer les différentes courbes sur le graphique, il suffit de remarquer que : g_{a}\left(1\right)=a et que \ln\left(1\right)=0, on obtient donc en partant de haut en bas les courbes :
- \Gamma_{0{,}4}
- \Gamma_{0{,}19}
- \Gamma_{0{,}1}
- \Gamma_{0{,}05}
Pour finir, la courbe qui s'annule au point d'abscisse 1 est la courbe \mathscr{C}.
Dans quelle proposition a-t-on correctement utilisé le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de \mathscr{C} et \Gamma_a selon les valeurs du réel a ?
D'après le graphique, on constate que :
la courbe \Gamma_{0{,}4} et la courbe \mathscr{C} ne semblent pas être sécantes.
La courbe \Gamma_{0{,}19} semble tangente à la courbe \mathscr{C}.
Pour finir, on constate que les courbes \Gamma_{0{,}1} et \Gamma_{0{,}05} semble être sécantes à la courbe \mathscr{C} en deux points.
On peut donc émettre la conjecture suivantes :
- Si on a, a \gt 0{,}19 alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} ne sont pas sécantes.
- Si on a, a=0{,}19, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en un point.
- Si on a, a\in\left]0;0{,}19\right[, alors les courbes \Gamma_a et \mathscr{C} sont sécantes en deux points.
Pour un réel a strictement positif, on considère la fonction h_a définie sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ par h_a\left(x\right)=\ln\left(x\right)-ax^2.
Dans quelle proposition justifie-t-on correctement que x est l'abscisse d'un point M appartenant à l'intersection de \mathscr{C} et \Gamma_a si et seulement si h_a\left(x\right)=0 ?
Soit a \gt 0, on considère un point M\left(x;y\right).
On a :
M\in\Gamma_a\cap\mathscr{C}
\Leftrightarrow \ln\left(x\right)=ax^2
\Leftrightarrow \ln\left(x\right)-ax^2=0
\Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0
- On a donc montré : M\left(x;y\right)\in\Gamma_a\cap \mathscr{C} \Leftrightarrow h_a\left(x\right)=0.
Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles \mathscr{C} et \Gamma_a n'ont aucun point d'intersection ?
Pour que les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'aient pas de point d'intersection, il faut que h_a\left(x\right) \lt 0.
Autrement dit :
h_a\left(x\right) \lt 0
\Leftrightarrow \cfrac{-1-\ln\left(2a\right)}{2} \lt 0
\Leftrightarrow-1-\ln\left(2a\right)\lt 0
\Leftrightarrow \ln\left(2a\right) \gt- 1
\Leftrightarrow e^{\ln\left(2a\right) }\gt e^{- 1} \qquad\text{Par stricte croissance de la fonction exponentielle}
\Leftrightarrow 2a\gt e^{- 1}
\Leftrightarrow a\gt \cfrac{e^{- 1}}{2}
- Si a \gt \cfrac{1}{2e}, les courbes \mathscr{C} et \Gamma_a n'ont pas de point d'intersection.