Temps de réverbération dans une salle Exercice type bac

Avant la rénovation d'une salle de classe, on réalise une étude acoustique afin d'améliorer ses qualités sonores.

À la suite d'une telle étude, des travaux sont programmés pour diminuer le temps de réverbération. Le technicien, responsable de l'étude, préconise de diminuer le volume de la pièce en fabriquant un faux plafond constitué d'un matériau isolant acoustique. Cette rénovation se fera sans occulter les fenêtres de façon à conserver un maximum de clarté, tout en ramenant le temps de réverbération à sa limite inférieure préconisée par l'arrêté du 25 avril 2003.

L'objectif de cet exercice est de vérifier si ces travaux vont permettre de respecter les contraintes évoquées précédemment.

Document 1

Éléments d'acoustique

Noté T_R, le temps de réverbération d'une salle est la durée, exprimée en seconde, au bout de laquelle le niveau sonore a diminué de 60 dB quand la source sonore est arrêtée.
On le calcule théoriquement à l'aide de la formule de Sabine :

T_R = 0{,}16.\dfrac{V}{A} avec :

V : volume de la salle en m³
A : surface d'absorption équivalente de la salle en m²

La surface d'absorption équivalente d'une salle se détermine en faisant la somme des surfaces d'absorption équivalentes des différents éléments constitutifs et présents dans la salle :

A_{salle} = \sum{}A_i

La surface d'absorption équivalente d'un matériau i dépend de la surface S_i (en m²) qu'il occupe et de son coefficient d'absorption acoustique du matériau \alpha_i selon la relation :

A_i = \alpha_i . S_i

Document 2

Extrait de l'arrêté du 25 avril 2003

D'après l'arrêté du 25 avril 2003 relatif à la limitation du bruit dans les établissements d'enseignement pour un local dont le volume est inférieur à 250 m³, le temps de réverbération doit être compris entre 0,4 s et 0,8 s. Pour un local dont le volume est supérieur, il sera compris entre 0,6 s et 1,2 s.

Document 3

Caractéristiques de la salle de classe

La salle étudiée est un parallélépipède rectangle de longueur 7,50 m et de largeur 7,30 m. Le plafond initial est à 4,10 m. Le haut des fenêtres est à 2,80 m du sol. Le temps de réverbération avant travaux est de 1,1 s.

Éléments architecturaux à prendre en compte	Caractéristiques			Surface d'absorption équivalente A
Éléments architecturaux à prendre en compte	Matériau	Surface	Dimensions	Surface d'absorption équivalente A
Mur	plâtre	113 m²	non communiquées	non communiquée
Sol	carrelage	54,8 m²	7,30 m x 7,50 m	1,09 m²
Plafond	plâtre	54,8 m²	7,30 m x 7,50 m	1,64 m²
Faux plafond	Isolant acoustique	54,8 m²	7,30 m x 7,50 m	35,6 m²
Deux fenêtres	verre	6,0 m² de surface totale	2 x (2,00 m x 1,50 m)	0,60 m²
Une porte	bois	1,93 m²	2,15 m x 0,90 m	0,39 m²
Mobilier scolaire				25 m²

Quels sont les deux moyens permettant de réduire le temps de réverbération ?

Diminuer le volume de la salle (en surbaissant le plafond par exemple)

Augmenter la surface d'absorption équivalente (en recouvrant certaines parois avec un isolant acoustique)

Augmenter le volume de la salle (en agrandissant la salle par exemple)

Diminuer la surface d'absorption équivalente (en recouvrant certaines parois avec un autre revêtement mural)

Que vaut initialement l'aire d'absorption équivalente ?

A_{initial} = 0{,}16 \times \dfrac{V}{T_{\text{R initial}}} = 0{,}16 \times \dfrac{2{,}2\times 10^{2} }{1{,}1} = 33 m²

A_{initial} = 0{,}16 \times \dfrac{V}{T_{\text{R initial}}} = 0{,}16 \times \dfrac{1{,}1\times 10^{2} }{1{,}1} = 16 m²

A_{initial} = 0{,}16 \times \dfrac{V}{T_{\text{R initial}}} = 0{,}16 \times \dfrac{1{,}1}{2{,}2\times 10^{-2}} = 8 m²

A_{initial} = 0{,}16 \times \dfrac{V}{T_{\text{R initial}}} = 0{,}16 \times \dfrac{1{,}1}{0{,}8\times 10^{-2} } = 22 m²

Lors de la rénovation, le sol, les fenêtres, la porte et le mobilier ne seront pas modifiés.

Quel est le calcul correct de leur surface d'absorption équivalente, notée A_fixe ?

A_{fixe} = A_{sol} + A_{porte} + A_{mobilier} = 1{,}09+0{,}39+25 = 26{,}48\text{ m²}

A_{fixe} = A_{sol} + A_{fenêtres} + A_{porte} + A_{mobilier} = 1{,}09+0{,}60+0{,}39+25 = 27{,}08\text{ m²}

A_{fixe} = A_{\text{plafond}}+ A_{\text{sol}}+ A_{\text{fenêtre}}+ A_{\text{porte}}+ A_{\text{mobilier}}=1{,}64+1{,}09+0{,}60+0{,}39+25=28{,}72\text{ m²}

A_{fixe} = A_{\text{plafond}}+ A_{\text{sol}}+ A_{\text{fenêtre}}+ A_{\text{porte}}=1{,}64+1{,}09+0{,}60+0{,}39+25=3{,}72\text{ m²}

Par déduction, quelle est la surface d'absorption équivalente des murs ?

A_{\text{murs}} = A_{\text{murs av. rénov.}} – \left(A_{\text{plafond}}+ A_{\text{sol}}+ A_{\text{fenêtre}}+ A_{\text{porte}}+ A_{\text{mobilier}}\right)=32{,}5-\left(1{,}64+1{,}09+0{,}60+0{,}39+25\right)=3{,}93\text{ m²}

A_{\text{murs}} = A_{\text{murs av. rénov.}} – \left(A_{\text{sol}}+ A_{\text{fenêtre}}+ A_{\text{porte}}+ A_{\text{mobilier}}\right)=32{,}5-\left(1{,}09+0{,}60+0{,}39+25\right)=5{,}42\text{ m²}

A_{\text{murs}} = A_{\text{murs av. rénov.}} – \left(A_{\text{sol}}+ A_{\text{fenêtre}}+ A_{\text{porte}}+ A_{\text{mobilier}}\right)=37-\left(1{,}09+0{,}60+0{,}39+25\right)=5{,}59\text{ m²}

A_{\text{murs}} = A_{\text{murs av. rénov.}} – \left(A_{\text{sol}}+ A_{\text{fenêtre}}+ A_{\text{porte}}+ A_{\text{mobilier}}\right)=37-\left(1{,}22+0{,}60+0{,}49+25\right) = 9{,}69\text{ m²}

Quel est alors le calcul correct du coefficient d'absorption du matériau qui constitue les murs ?

\alpha = \dfrac{ A_{\text{murs}}}{ S_{\text{murs}}}= \dfrac{3{,}93}{113}= 3{,}47 \times 10^{-2}

\alpha = \dfrac{ A_{\text{murs}}}{ S_{\text{murs}}}= \dfrac{9{,}69}{113}= 8{,}85 \times 10^{-2}

\alpha = \dfrac{ A_{\text{murs}}}{ S_{\text{murs}}}= \dfrac{5{,}42}{113}= 4{,}80 \times 10^{-2}

\alpha = \dfrac{ A_{\text{murs}}}{ S_{\text{murs}}}= \dfrac{5{,}59}{113}= 4{,}95 \times 10^{-2}

Lors de la rénovation, le plafond est abaissé et la nouvelle hauteur des murs est h.
La surface des murs (sans les fenêtres et la porte) est alors donnée par la formule 29{,}6 \times h - 7{,}93.

Quelle est la nouvelle surface d'absorption équivalente des murs ?

S_{\text{murs ap. rénov.}} =\left(7{,}5\times h\right) \times 2+\left(7{,}3\times h\right) \times 2\right)-6{,}0-1{,}93 = 29{,}6 \times h - 7{,}93

S_{\text{murs ap. rénov.}} =\left(7{,}5\times h\right) \times 2+\left(7{,}3\times h\right) \times 2\right)-5{,}0-2{,}93 = 29{,}6 \times h - 2{,}07

S_{\text{murs ap. rénov.}} =\left(9{,}5\times h\right) \times 2+\left(8{,}3\times h\right) \times 2\right)-5{,}0-2{,}93 = 35{,}6 \times h - 2{,}07

S_{\text{murs ap. rénov.}} =\left(9{,}5\times h\right) \times 2+\left(8{,}3\times h\right) \times 2\right)−6{,}0−1{,}93 = 35{,}6 \times h − 7{,}93

Quelle est la nouvelle surface d'absorption équivalente de la salle ?

A_{\text{murs ap. rénov.}}= S_{\text{murs ap. rénov.}} \times \alpha=1{,}03 \times h + 62{,}4

A_{\text{murs ap. rénov.}}= S_{\text{murs ap. rénov.}} \times \alpha=4{,}03 \times h + 64{,}4

A_{\text{murs ap. rénov.}}= S_{\text{murs ap. rénov.}} \times \alpha=4{,}06 \times h + 42{,}4

A_{\text{murs ap. rénov.}}= S_{\text{murs ap. rénov.}} \times \alpha=2{,}39 \times h + 56{,}7

Après rénovation, le volume de la salle est donné par la relation 7{,}5 \times 7{,}3 \times h.

Quel est le calcul correct de la nouvelle hauteur donnant le temps de réverbération minimum, selon le décret du 25 avril 2003 ?

On a 0{,}4=0{,}16 \times \dfrac{7{,}5 \times 7{,}3 \times h}{1{,}03 \times h + 62{,}4}, soit h = 3{,}0 m.

On a 0{,}4=0{,}16 \times \dfrac{7{,}5 \times 7{,}3 \times h}{1{,}03 \times h + 62{,}4}, soit h = 2{,}95 m.

On a 0{,}4=0{,}16 \times \dfrac{7{,}5 \times 7{,}3 \times h}{1{,}03 \times h + 62{,}4}, soit h = 3{,}4 m.

On a 0{,}4=0{,}16 \times \dfrac{7{,}5 \times 7{,}3 \times h}{1{,}03 \times h + 62{,}4}, soit h = 2{,}8 m.