Sur une route, la vitesse des voitures est limitée à v_1 = 114 km/h et celle des camions est limitée à v_2 = 84 km/h.
Sachant que la masse d'une voiture roulant sur cette route est m_1 = 1\ 007 kg, quelle est son énergie cinétique maximale ?
L'énergie cinétique de la voiture se calcule par la formule :
E_{c1} = \dfrac{1}{2} \times m_1 \times v^2_1
La vitesse doit être exprimée en m/s.
v_1 = 114 km/h = \dfrac {114}{3{,}6} = 31{,}7 m/s
Donc :
E_{c_1} = \dfrac{1}{2} \times 1\ 007 \times 31{,}7^2
E_{c_1} = 504\ 899 J
La valeur de l'énergie cinétique de la voiture est de 504 899 J.
Un camion de masse m_2 = 5\ 684 kg a la même énergie cinétique que cette voiture.
Quelle est la vitesse maximale du camion ? Peut-il rouler sur cette route ?
L'énergie cinétique du camion se calcule par la formule :
E_{c2} = \dfrac{1}{2} \times m_2 \times v^2_2
Donc :
v_2^2= \dfrac{2E_{c_2}}{m_2}
Et comme toutes les valeurs sont positives :
v_2= \sqrt{\dfrac{2E_{c_2}}{m_2}}
En effectuant l'application numérique, on obtient :
v_2= \sqrt{\dfrac{2 \times 504 899}{5\ 684}}
v_2 = 13{,}3 m/s = 48 km/h
La vitesse du camion est de 48 km/h. Cette vitesse est inférieure à la vitesse autorisée.
On suppose que la voiture roule à la vitesse v = 94 km/h.
Quelle est la valeur de son énergie cinétique ?
L'énergie cinétique de la voiture se calcule par la formule :
E_{c1} = \dfrac{1}{2} \times m_1 \times v^2_1
La vitesse doit être exprimée en m/s.
v_1 = 60 km/h = \dfrac {60}{3{,}6} = 16{,}6 m/s
On effectue l'application numérique :
E_{c_1} = \dfrac{1}{2} \times 1\ 007 \times 16{,}6^2
E_{c_1} = 138\ 794 J
La valeur de l'énergie cinétique de la voiture est de 138 794 J.
À quelle vitesse roule le camion lorsqu'il a la même énergie cinétique que la voiture ?
L'énergie cinétique du camion se calcule par la formule :
E_{c_2} = \dfrac{1}{2} \times m_2 \times v^2_2
Donc :
v_2^2= \dfrac{2E_{c_2}}{m_2}
Et, comme toutes les valeurs sont positives :
v_2= \sqrt{\dfrac{2E_{c_2}}{m_2}}
On effectue l'application numérique :
v_2= \sqrt{\dfrac{2 \times 138\ 794}{5\ 684}}
v_2 = 6{,}99 m/s = 25 km/h
La vitesse du camion est de 25 km/h.
À vitesse égale, qui du camion ou de la voiture a la plus grande énergie cinétique ?
On veut comparer E_{c_1} et E_{c_2} lorsque les vitesses v_1 et v_2 sont égales.
Or, l'expression de l'énergie cinétique est la suivante :
E_{c} = \dfrac{1}{2} \times m \times v^2
Donc, si m_1\lt m_2 et que v_1 = v_2, on a :
\dfrac{1}{2} \times m_1 \times v^2_1 \lt \dfrac{1}{2} \times m_2 \times v^2_2
C'est-à-dire :
E_{c_1}\lt E_{c_2}
Puisque la masse du camion est supérieure à celle de la voiture, son énergie cinétique est supérieure à l'énergie cinétique de la voiture lorsque les vitesses sont égales.