Le vocabulaire du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est appelé « hypoténuse ». Si l'on se place par rapport à l'un des deux angles aigus du triangle, les deux autres côtés sont appelés « côté adjacent à l'angle » et « côté opposé à l'angle ».
L'hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, on appelle « hypoténuse » le côté opposé à l'angle droit.
L'hypoténuse d'un triangle rectangle ne dépend pas de l'angle aigu que l'on étudie.
L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le plus grand côté du triangle.
En effet, si le triangle ABC est rectangle en A, on a, d'après le théorème de Pythagore :
BC^2=AB^2+AC^2
On en déduit :
BC^2\geq AB^2 et BC^2\geq AC^2
Par conséquent :
BC\geq AB et BC\geq AC
Le côté [BC] est donc bien le plus grand des côtés.
Le côté adjacent à un angle \alpha
Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l'angle \alpha est le côté qui forme \alpha avec l'hypoténuse.
Côté adjacent à l'angle \alpha
Dans un triangle rectangle, le côté qui forme un angle aigu \alpha avec l'hypoténuse est appelé « côté adjacent à l'angle \alpha ».
Le côté opposé à un angle \alpha
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle \alpha est le côté qui est en face de \alpha.
Côté opposé à l'angle \alpha
Le côté opposé à l'angle \alpha est celui qui est positionné face à cet angle.
Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle
Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle se calcule à partir du rapport des longueurs du côté adjacent à l'angle et de l'hypoténuse du triangle. Il permet de calculer des longueurs de côtés ou des mesures d'angles.
Définition du cosinus
Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la longueur du côté adjacent à l'angle par celle de l'hypoténuse du triangle.
Cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle ABC rectangle en A, on appelle « cosinus de l'angle aigu \widehat{ABC} » le rapport de la longueur du côté adjacent par celle de l'hypoténuse.
On note \cos\left(\widehat{B}\right) ou \cos\left(\widehat{ABC}\right) ce rapport.
Autrement dit :
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}
Le schéma ci-dessus représente un triangle ABC qui est rectangle en A.
On a :
AB = 3 et BC = 5
Alors :
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}=0{,}6
Autrement dit :
\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Côté adjacent à l'angle }\alpha}{\text{Hypoténuse}}
Ici, « côté adjacent à l'angle \alpha » et « hypoténuse » correspondent aux longueurs de ces côtés.
Dans un triangle rectangle, on choisit l'un des deux angles aigus.
Le rapport de la longueur du côté adjacent par celle de l'hypoténuse ne dépend que de la mesure de l'angle choisi.
On considère un triangle ABC rectangle en A et on choisit par exemple l'angle \widehat{ACB}.
Pour montrer que le rapport de la longueur du côté adjacent par celle de l'hypoténuse ne dépend que de la mesure de l'angle choisi, on construit un autre triangle rectangle utilisant le même angle aigu, comme représenté sur le schéma suivant :
Le deuxième triangle est le triangle DCE.
On sait que :
- (DE)\perp (DC)
- (AC)\perp (AB)
- Les droites (AC) et (DC) ne forment qu'une seule et même droite.
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, elles sont parallèles.
Ainsi, les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès.
On en déduit :
\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{CB}{CE}=\dfrac{AB}{DE}
En particulier :
\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{CB}{CE}
Ainsi, le rapport de la longueur du côté adjacent par celle de l'hypoténuse est le même dans les deux triangles.
Ce rapport ne dépend donc que de la mesure de l'angle aigu choisi.
L'utilisation du cosinus pour déterminer la longueur d'un côté
On peut utiliser le cosinus d'un angle pour calculer des longueurs de côtés.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu permet de calculer des longueurs de côtés.
On considère un triangle EFG rectangle en F avec EF = 4 et \widehat{FEG}=40°.
On cherche à déterminer la longueur EG.
On a :
\cos\left(\widehat{FEG}\right)=\dfrac{EF}{EG}
Alors :
EG=\dfrac{EF}{\cos\left(\widehat{FEG}\right)}=\dfrac{4}{\cos(40°)} \approx 5{,}2
Pour utiliser le cosinus d'un angle aigu afin de déterminer la longueur d'un côté, il faut connaître la mesure d'un angle aigu et la longueur d'un côté du triangle.
L'utilisation du cosinus pour déterminer la mesure d'un angle
On peut utiliser le cosinus d'un angle pour calculer des mesures d'angles.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu permet de calculer des mesures d'angles.
Le schéma suivant représente un triangle ABC qui est rectangle en A.
On a :
AB = 3 et BC = 5
Alors :
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}=0{,}6
On met la calculatrice en mode « DEGRÉ » puis on saisit « 2nd cos (0.6) » ou « Shift cos (0.6) », selon les modèles de calculatrices.
On a :
\widehat{ABC}=\cos^{-1} (0{,}6) \approx 53{,}1°
Pour utiliser le cosinus d'un angle aigu afin de déterminer la mesure d'un angle, il faut connaître les longueurs de deux côtés du triangle.