Elise est sur un bateau, au niveau du point A. Elle a pris les mesures indiquées sur le schéma.
Elle souhaite calculer la distance qui la sépare de l'île.
Combien vaut cette distance ?
On sait que :
- Le triangle AIE est rectangle en E.
- La mesure de l'angle \widehat{IAE} est égale à 72°.
- La longueur AE est égale à 10 m.
On cherche à calculer la longueur AI.
Dans le triangle AIE rectangle en E :
- on connaît la mesure de l'angle \widehat{IAE} ;
- on connaît AE, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{IAE} ;
- on cherche AI, la longueur de l'hypoténuse.
On peut donc utiliser le cosinus.
On a :
\text{ cos}\left( \widehat{IAE} \right)=\dfrac{AE}{AI}
\text{ cos}\left( 72 \right)=\dfrac{10}{AI}
On en déduit :
AI= \frac {10} {\text{ cos}(72)}
AI\approx 32{,}4 \text{ m}
La distance qui sépare Elise de l'île est AI\approx32{,}4 \text{ m}.
Une boulangerie veut installer une rampe d'accès pour des personnes à mobilité réduite, comme celle proposée ici.
Pour ce modèle, on a les dimensions suivantes :
DT = 50{,}2 \text{ cm} et DS = 49{,}8 \text{ cm}
Les normes imposent que la rampe d'accès forme un angle avec l'horizontale inférieur à 7°.
Ce modèle de rampe est-il aux normes ?
On sait que :
- Le triangle DST est rectangle en S.
- La longueur DT est égale à 50,2 cm.
- La longueur DS est égale à 49,8 cm.
On cherche à calculer la mesure de l'angle \widehat{SDT}.
Dans le triangle DST rectangle en S :
- on cherche la mesure de l'angle \widehat{SDT} ;
- on connaît DS, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{SDT} ;
- on connaît DT, la longueur de l'hypoténuse.
On peut donc utiliser le cosinus.
On a :
\text{cos}\left( \widehat{SDT} \right)=\dfrac{DS}{DT}
\text{cos}\left( \widehat{SDT} \right)=\dfrac{49{,}8}{50{,}2}
On utilise alors la touche \text{cos}^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{SDT}\approx7{,}2°
Or :
7{,}2 \gt 7
Par conséquent, cette rampe n'est pas aux normes.
Ce modèle de rampe n'est pas conforme aux normes.
Une personne mesurant 1,80 m se trouve à 10 m du pied d'un arbre.
Quand cette personne regarde la cime de l'arbre, son regard fait un angle de 30° avec l'horizontale.
Quelle est la distance qui sépare l'œil de la personne de la cime de l'arbre ?
Dans le triangle OCH rectangle en H :
- on connaît la mesure de l'angle \widehat{HOC} ;
- on connaît OH, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{HOC} ;
- on cherche OC, la longueur de l'hypoténuse.
On peut donc utiliser le cosinus.
On a :
\text{cos}\left( \widehat{HOC} \right)=\dfrac{OH}{OC}
\text{cos}\left( 30 \right)=\dfrac{10}{OC}
On en déduit :
OC=\dfrac{10}{\text{cos}(30)}
OC\approx11{,}5\text{ m}
La distance qui sépare l'œil de la personne de la cime de l'arbre est d'environ 11,5 m.
Quelle est la mesure de l'angle \widehat{OCH} ?
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Ici, on a donc :
\widehat{CHO}+\widehat{OCH}+\widehat{HOC}=180
D'où :
90+\widehat{OCH}+30=180
Par conséquent :
\widehat{OCH}+120=180
Et enfin :
\widehat{OCH}=180-120=60\text{°}
L'angle \widehat{OCH} mesure 60°.
Quelle est la hauteur de l'arbre ?
Dans le triangle OCH rectangle en H :
- on connaît la mesure de l'angle \widehat{OCH} ;
- on connaît OC, la longueur de l'hypoténuse ;
- on cherche CH, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{OCH}.
On peut donc utiliser le cosinus.
On a :
\text{cos}\left( \widehat{OCH} \right)=\dfrac{CH}{OC}
\text{cos}\left( 60 \right)=\dfrac{CH}{11{,}5}
On en déduit :
CH=11{,}5 \times \text{cos}(60)
CH=5{,}75\text{ m}
La hauteur de l'arbre est égale à :
CH+HP
Or :
HP est égale à la taille de la personne, à savoir 1,80 m.
Et on a trouvé :
CH=5{,}75\text{ m}
Par conséquent, la hauteur de l'arbre est égale à :
1{,}80 + 5{,}75 = 7{,}55 \text{ m}
La hauteur de l'arbre est égale à 7,55 m.
Max veut poser une échelle contre un mur. Pour qu'elle soit stable, cette échelle doit former un angle de 65° avec l'horizontale au niveau du sol.
L'échelle mesure 2,20 m. Max pose le bas de l'échelle à 1,20 m du pied du mur.
On suppose que le mur est perpendiculaire au sol.
L'échelle sera-t-elle stable ?
On peut commencer par faire un schéma. Dans ce schéma :
- B est le point représentant le bas de l'échelle ;
- H est le point représentant le haut de l'échelle ;
- P est le point représentant le pied du mur ;
- le triangle PBH est rectangle en P ;
- BH = 2{,}20 \text{ m} ;
- BP = 1{,}20 \text{ m}.
On cherche à calculer la mesure de l'angle \widehat{PBH}.
Dans le triangle PBH rectangle en P, on connaît :
- BH, la longueur de l'hypoténuse ;
- BP, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{PBH}.
On peut donc utiliser le cosinus.
On a :
\text{cos}\left( \widehat{PBH} \right)=\dfrac{BP}{BH}
\text{cos}\left( \widehat{PBH} \right)=\dfrac{1{,}20}{2{,}20}
On utilise alors la touche \text{cos}^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{PBH} \approx 56{,}9°
On sait que, pour que l'échelle soit stable, elle doit former un angle de 65° avec le sol.
Or :
56{,}9 \lt 65
L'échelle ne sera pas stable.
À quelle distance du mur Max doit-il poser le bas de l'échelle pour qu'elle soit stable ?
On peut faire un autre schéma. Dans ce schéma :
- B est le point représentant le bas de l'échelle ;
- H est le point représentant le haut de l'échelle ;
- P est le point représentant le pied du mur ;
- le triangle PBH est rectangle en P ;
- BH = 2{,}20 \text{ m} ;
- \widehat{PBH}=65°.
Dans le triangle PBH rectangle en P :
- On cherche à calculer la longueur PB, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{PBH}.
- On connaît la mesure de l'angle \widehat{PBH}.
- On connaît BH, la longueur de l'hypoténuse.
On peut donc utiliser le cosinus.
On a :
\text{cos}\left( \widehat{PBH} \right)=\dfrac{BP}{BH}
\text{cos}\left( 65 \right)=\dfrac{PB}{2{,}20}
On en déduit :
PB=2{,}20 \times \text{cos}(65)
PB\approx0{,}93\text{ m}
Max doit placer le bas de l'échelle à environ 0,93 m du mur.