Le vocabulaire des probabilités
Les probabilités constituent l'étude des phénomènes aléatoires. Les résultats de l'expérience sont appelés « éventualités » et l'ensemble d'éventualités est appelé « événement ». Si l'on peut associer les issues d'un événement avec une fréquence d'apparition, l'expérience est appelée « épreuve ».
Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire lorsque son résultat est lié au hasard et ne peut donc pas être prédit avec certitude.
Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n'est prévisible de façon certaine.
Éventualité (ou issue)
Les résultats possibles d'une expérience sont généralement appelés « éventualités » (ou « issues »).
Les éventualités de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces, notées e_i, sont :
- e_1 : face 1 ;
- e_2 : face 2 ;
- e_3 : face 3 ;
- e_4 : face 4 ;
- e_5 : face 5 ;
- e_6 : face 6.
Épreuve
On appelle « épreuve » une expérience dont les différentes issues sont aléatoires et auxquelles on peut attacher des fréquences d'apparition connues ou estimées.
Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une épreuve. On sait que la fréquence d'apparition de chaque face est égale à \dfrac{1}{6}.
Événement
Un événement est un ensemble d'éventualités (ou d'issues).
On considère le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On souhaite étudier l'événement A : « Obtenir un multiple de 3 ou de 5 ».
Les éventualités correspondant à cet événement sont :
- e_3 : face 3 ;
- e_5 : face 5 ;
- e_6 : face 6.
Les différents événements
Il existe plusieurs types d'événements en fonction des issues possibles : les événements élémentaires, incompatibles, contraires, certains et impossibles.
Événement élémentaire
Un événement ne contenant qu'une issue (ou éventualité) est dit élémentaire.
On considère le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On souhaite étudier l'événement A : « Obtenir un multiple de 5 ».
Cet événement ne comportant qu'une issue, c'est un événement élémentaire.
Événements incompatibles
Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire simultanément.
On lance un dé à six faces. Soient les événements suivants :
- P : « Obtenir un nombre pair » ;
- T : « Obtenir 3 ».
Les événements P et T sont incompatibles : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Événement contraire
On appelle « événement contraire » de l'événement A, noté \overline{A}, l'ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A.
On considère le lancer d'un dé équilibré à six faces.
Soit :
M : « Obtenir un multiple de 3 », ce qui revient à « Obtenir la face 3 ou la face 6 ».
L'événement contraire de M est :
\overline{M} : « Ne pas obtenir un multiple de 3 », ce qui revient à « N'obtenir ni la face 3 ni la face 6 ».
\overline{M} est l'événement contraire de M.
Événement certain
Lors d'une épreuve, on dit qu'un événement est un événement certain lorsqu'il se réalise dans tous les cas.
Faire tourner une flèche sur une roue de loterie partagée en 8 secteurs numérotés de 1 à 8 constitue une épreuve.
L'événement « La flèche s'arrête sur un secteur de numéro inférieur à 10 » est un événement certain.
Événement impossible
Lors d'une épreuve, on dit qu'un événement est un événement impossible lorsqu'il ne peut pas se réaliser.
Faire tourner une flèche sur une roue de loterie partagée en 8 secteurs numérotés de 1 à 8 constitue une épreuve.
L'événement « La flèche s'arrête sur un secteur de numéro supérieur à 10 » est un événement impossible.
La probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est l'évaluation du nombre de chances qu'a cet événement de se produire. Il s'agit d'un nombre compris entre 0 et 1.
Probabilité
Lorsqu'on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire de façon indépendante et dans les mêmes conditions, la fréquence de réalisation d'un événement E se rapproche d'un nombre que l'on appelle « probabilité » de cet événement. On la note p\left(E\right).
On lance un grand nombre de fois une pièce de monnaie équilibrée.
La fréquence d'apparition de « pile » se rapproche de \dfrac{1}{2}.
La probabilité de l'événement « Obtenir pile » est \dfrac{1}{2}.
On peut remplacer la phrase : « La probabilité de l'événement "Obtenir pile" est \dfrac{1}{2}. » par : « L'événement "Obtenir pile" a "une chance sur deux" de se réaliser. »
La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1. Elle exprime la « chance » qu'a cet événement de se produire (on dit aussi « d'être réalisé »).
On peut l'exprimer sous forme d'un nombre à virgule, d'une fraction ou d'un pourcentage.
On fait tourner une flèche sur une roue de loterie composée de 8 secteurs de même taille, numérotés de 1 à 8.
La probabilité de l'événement « La flèche s'arrête sur le secteur numéroté 5 » est \dfrac{1}{8} (ou bien 0,125 ou 12,5 %).
Ce nombre est bien compris entre 0 et 1.
On peut placer un événement sur une échelle de probabilités.
Cela permet de visualiser si l'événement est plus ou moins probable.
On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
La probabilité de l'événement « Obtenir un nombre strictement supérieur à 5 » est de \dfrac{1}{6}.
Autrement dit, l'événement « Obtenir un nombre strictement supérieur à 5 » a 1 chance sur 6 de se réaliser.
C'est un événement peu probable.
La situation d'équiprobabilité
Lorsque tous les événements élémentaires ont autant de chances de se réaliser, on parle d'équiprobabilité.
Situation équiprobable
On appelle « situation équiprobable » une expérience où tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'être réalisés.
Si on lance un dé équilibré, la probabilité de sortie de chaque face est égale. On est donc dans une situation d'équiprobabilité.
En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A, notée p\left(A\right), est égale à :
\dfrac{\text{Nombre d'éventualités réalisant A}}{\text{Nombre total d'éventualités}}
On lance un dé équilibré à 6 faces. On cherche la probabilité de l'événement suivant :
A : « Obtenir un multiple de 3 ou de 5 »
Il existe 3 éventualités réalisant cet événement :
- e_3 : face 3 ;
- e_5 : face 5 ;
- e_6 : face 6.
De plus, le dé étant équilibré, la situation est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. On en conclut finalement que la probabilité de l'événement A est égale à :
p\left(A\right)=\dfrac{3}{6}=0{,}5