On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R}^+ :
f\left(x\right) = x^2 \sqrt x
Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?
On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} :
f\left(x\right) = x^5+3x^3-1
Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?
On sait que pour déterminer une dérivée seconde d'une fonction f donnée il faut dériver deux fois de suite cette fonction.
Calcul de f'
f est une fonction dérivable en tant que polynôme, on commence donc par calculer sa dérivée f' :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 5x^4+3\times 3x^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 5x^4+9x^2
Calcul de f''
On remarque que f' est également une fonction polynôme donc dérivable. On calcule maintenant la dérivée de f ', que l'on note f '' et qui correspond à la dérivée seconde de f :
\forall x \in \mathbb{R}, f''\left(x\right) = 5\times4 x^3 +9\times 2x
\forall x \in \mathbb{R}, f''\left(x\right) = 20x^3+18x
On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R}^* :
f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}
Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?
On sait que pour déterminer une dérivée seconde d'une fonction f donnée il faut dériver deux fois de suite cette fonction.
Calcul de f'
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R}^* en tant que quotient de fonctions polynômes sur \mathbb{R}^*, on commence donc par calculer sa dérivée f' :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'\left(x\right) = -\dfrac{1}{x^2}
Calcul de f''
On remarque que f' est également un quotient de fonctions polynômes défini sur \mathbb{R}^* donc dérivable \mathbb{R}^*. On calcule maintenant la dérivée de f ', que l'on note f '' et qui correspond à la dérivée seconde de f :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f''\left(x\right) = - \left(\dfrac{-2}{x^3}\right)
\forall x \in \mathbb{R}^*, f''\left(x\right) = \dfrac{2}{x^3}
On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} :
f\left(x\right) = \dfrac{1}{2} x^5 - \dfrac{7}{9}x^3+4
Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?
On sait que pour déterminer une dérivée seconde d'une fonction f donnée il faut dériver deux fois de suite cette fonction.
Calcul de f'
f est une fonction dérivable en tant que polynôme, on commence donc par calculer sa dérivée f' :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = \dfrac{1}{2} \times 5 x^4 - \dfrac{7}{9}\times 3x^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = \dfrac{5}{2} x^4 - \dfrac{7}{3}x^2
Calcul de f''
On remarque que f' est également une fonction polynôme donc dérivable. On calcule maintenant la dérivée de f ', que l'on note f '' et qui correspond à la dérivée seconde de f :
\forall x \in \mathbb{R}, f''\left(x\right) = \dfrac{5}{2} \times 4x^3 - \dfrac{7}{3}\times 2x
\forall x \in \mathbb{R}, f''\left(x\right) = 10x^3 - \dfrac{14}{3}x
On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} :
f\left(x\right) = \left(x+4\right)^4
Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?
On sait que pour déterminer une dérivée seconde d'une fonction f donnée il faut dériver deux fois de suite cette fonction.
Calcul de f'
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme sur \mathbb{R}, on commence donc par calculer sa dérivée f' :
On remarque que f = u^n avec u\left(x\right) = x+4 et n = 4.
On en déduit que f ' = n u' u^{n-1} avec u' = 1
Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 4\times 1 \times \left(x+4\right) ^{4-1}
f'\left(x\right) = 4\left(x+4\right)^3
Calcul de f''
On remarque que f' est également une fonction polynôme définie sur \mathbb{R} donc dérivable \mathbb{R}. On calcule maintenant la dérivée de f ', que l'on note f '' et qui correspond à la dérivée seconde de f :
On remarque que f '= u^n avec u\left(x\right) = x+4 et n = 3.
On en déduit que f ' '= n u' u^{n-1} avec u' = 1
Donc \forall x \in \mathbb{R}, f''\left(x\right) = 4\times 3 \times 1 \times \left(x+4\right) ^{3-1}
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 12\left(x+4\right)^2
On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} :
f\left(x\right) = 3x^3-2x^2+4x-7
Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?
On sait que pour déterminer une dérivée seconde d'une fonction f donnée il faut dériver deux fois de suite cette fonction.
Calcul de f'
f est une fonction dérivable en tant que polynôme, on commence donc par calculer sa dérivée f' :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 3\times 3x^2 - 2 \times 2x + 4
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 9x^2 - 4x + 4
Calcul de f''
On remarque que f' est également une fonction polynôme donc dérivable. On calcule maintenant la dérivée de f ', que l'on note f '' et qui correspond à la dérivée seconde de f :
\forall x \in \mathbb{R}, f''\left(x\right) = 9\times 2x - 4
\forall x \in \mathbb{R}, f''\left(x\right) = 18x - 4