Majorant et maximum d'une fonction sur IR Exercice

Pour tout x de \mathbb{R}, 2\left( x-1 \right)^{2}\left(4x+8\right)^2 \geqslant 0 alors 2\left( x-1 \right)^{2}\left(4x+8\right)^2-1 \geqslant -1 soit encore f\left(x\right)\geqslant -1 et la fonction f est minorée par −1 pour tout x de \mathbb{R}.

Pour tout x\in\mathbb{R}, on calcule f\left(x\right)-\left(-1\right).

Or f\left(x\right)-\left(-1\right)\leqslant 0 donc f\left(x\right)\geqslant-1 et f est minorée par (−1).

Pour tout x\in\mathbb{R}, on calcule \left(-1\right)-f\left(x\right).

Or \left(-1\right)-f\left(x\right)\geqslant 0 donc f\left(x\right)\geqslant-1 et f est minorée par (−1).

On sait que −1 est un minorant de f. Reste à vérifier que c'est un minimum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=-1 et on trouve x=1 ou x=-2.

Donc la fonction f admet pour minimum 3 et ce minimum est atteint pour x=1 ou x=-2.

On sait que −1 est un minorant de f. Reste à vérifier que c'est un minimum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=-1 et on trouve x=1.

Donc la fonction f admet pour minimum 3 et ce minimum est atteint pour x=1.

On sait que −1 est un minorant de f. Reste à vérifier que c'est un minimum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=-1 et on trouve x=-2.

Donc la fonction f admet pour minimum 3 et ce minimum est atteint pour x=-2.