Majorant et maximum d'une fonction sur IR Exercice

Pour tout x\ \text{de} \ \mathbb{R}, -3\left(2x^2+3x-2\right)^2\leqslant0, donc -3\left(2x^2+3x-2\right)^2+4\leqslant4 soit f\left(x\right)\leqslant4.

La fonction f est donc majorée par 4 pour tout x\ \text{de}\ \mathbb{R}.

Pour tout x\ \text{de} \ \mathbb{R}, 3\left(2x^2+3x-2\right)^2\geqslant0, donc 3\left(2x^2+3x-2\right)^2+4\geqslant4 soit f\left(x\right)\geqslant4.

La fonction f est donc minorée par 4 pour tout x\ \text{de}\ \mathbb{R}.

On calcule 4-f\left(x\right)=4+3\left(2x^2+3x-2\right)^2-4=3\left(2x^2+3x-2\right)^2

Or pour tout x\in\mathbb{R}, 3\left(2x^2+3x-2\right)^2\geqslant0 soit 4-f\left(x\right)\geqslant0 et donc f\left(x\right)\leqslant4 pour tout x\in\mathbb{R}.

Conclusion, la fonction f est donc bien majorée par 4 pour tout x\in\mathbb{R}.

On sait que 4 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=4 qui est équivalent à -3\left(2x^2+3x-2\right)^2=0 ou bien encore 2x^2+3x-2=0.

On trouve alors x=-2 ou x=\dfrac{1}{2}

Donc la fonction f admet pour minimum 4 et ce minimum est atteint pour x=-2 ou x=\dfrac{1}{2}.

On sait que 4 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=4 qui est équivalent à -3\left(2x^2+3x-2\right)^2=0 ou bien encore 2x^2+3x-2=0.

On trouve alors x=2 ou x=-\dfrac{1}{2}

Donc la fonction f admet pour minimum 4 et ce minimum est atteint pour x=2 ou x=-\dfrac{1}{2}.

On sait que 4 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=4 qui est équivalent à -3\left(2x^2+3x-2\right)^2=0 ou bien encore 2x^2+3x-2=0.

Or \Delta\leqslant0 donc le maximum 4 n'est pas atteint.