Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=xln\left(x\right)-x est une primitive de la fonction f définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\ln\left(x\right) ?
F est une primitive de f sur \left]0;+\infty\right[ si et seulement si pour tout réel x\gt 0 , on a F'\left(x\right)=f\left(x\right).
Or F est dérivable sur \left]0;+\infty\right[ en tant que produit et différence de fonctions dérivables.
On pose pour tout réel x strictement positif :
u\left(x\right)=x, v\left(x\right)=\ln\left(x\right) et w\left(x\right)=x
On a :
u'\left(x\right)=1, v'\left(x\right)=\dfrac{1}{x} et w'\left(x\right)=1.
F=u\times v - w donc F'=u'v+uv'-w'
Ainsi, pour tout réel x\gt 0:
F'\left(x\right)= 1\times \ln\left(x\right) + x\times \dfrac{1}{x}-1
F'\left(x\right)=\ln\left(x\right)+1-1
F'\left(x\right)= \ln\left(x\right)
F'\left(x\right)=f\left(x\right)
F est ainsi une primitive de f sur \left]0;+\infty\right[.
Soit F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\left(x+7\right)e^{3x-4}.
De quelle fonction F est-elle une primitive ?
Soit F définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{3}{5} \right\} par F\left(x\right)=-\dfrac{1}{\left(5x+3\right)^7}.
De quelle fonction F est-elle une primitive ?
Soit F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\left(2x+3\right)^7.
De quelle fonction F est-elle une primitive ?
Soit F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x^2+10}.
De quelle fonction F est-elle une primitive ?
Soit F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=\dfrac{\ln\left(x\right)+3}{x+1}.
De quelle fonction F est-elle une primitive ?