Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3.
On cherche à résoudre des équations du type f\left(x\right)=a pour un réel a donné.
Résoudre, dans \mathbb{R}, l'équation suivante :
f\left(x\right)=8
Méthode 1 :
Pour tout x réel,
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow x^3=8
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow x^3=2^3
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow x=2
Méthode 2 :
Pour tout x réel,
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow x^3=8
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow x^3-8=0
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow x^3-2^3=0
On utilise l'identité remarquable suivante : a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)
On obtient :
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)=0
Or, x^2+2x+4, est un polynôme de degré 2, dont le discriminant \Delta est négatif. \left(\Delta =-12\right)
Le polynôme du second degré x^2+2x+4, n'admet donc pas de racine réelle.
Ainsi :
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)=0
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow \left(x-2\right)=0
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow x=2
L'ensemble des solutions de l'équation est S=\left\{2\right\}.
Résoudre, dans \mathbb{R}, l'équation suivante :
f\left(x\right)=10
Pour tout x réel,
f\left(x\right)=10 \Leftrightarrow x^3=10
f\left(x\right)=10 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{10}
L'ensemble des solutions de l'équation est S=\left\{ \sqrt[3]{10}\right\}.
Résoudre, dans \mathbb{R}, l'équation suivante :
f\left(x\right)=\dfrac{8}{27}
Méthode 1 :
Pour tout x réel,
f\left(x\right)=\cfrac{8}{27} \Leftrightarrow x^3=\cfrac{8}{27}
Or, on remarque que \cfrac{8}{27}=\cfrac{2^3}{3^3}=\left(\cfrac{2}{3}\right)^3
Donc :
f\left(x\right)=\cfrac{8}{27} \Leftrightarrow x^3=\left(\cfrac{2}{3}\right)^3\\f\left(x\right)=\cfrac{8}{27} \Leftrightarrow x=\cfrac{2}{3}
Méthode 2 :
Pour tout x réel,
f\left(x\right)=\cfrac{8}{27} \Leftrightarrow x^3=\cfrac{8}{27}
f\left(x\right)=\cfrac{8}{27} \Leftrightarrow 27x^3-8=0
f\left(x\right)=\cfrac{8}{27} \Leftrightarrow \left(3x\right)^3-2^3=0
On utilise l'identité remarquable suivante :
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)
On obtient :
f\left(x\right)=\cfrac{8}{27} \Leftrightarrow \left(3x-2\right)\left(9x^2+6x+4\right)
Or, 9x^2+6x+4, est un polynôme de degré 2, dont le discriminant \Delta est négatif. \left(\Delta =-108\right)
Le polynôme du second degré 9x^2+6x+4, n'admet donc pas de racine réelle.
Ainsi :
f\left(x\right)=\cfrac{8}{27} \Leftrightarrow \left(3x-2\right)\left(9x^2+6x+4\right)
f\left(x\right)=\cfrac{8}{27} \Leftrightarrow \left(3x-2\right)=0
f\left(x\right)=8 \Leftrightarrow x=\cfrac{2}{3}
L'ensemble des solutions de l'équation est S=\left\{ \cfrac{2}{3} \right\}.
Résoudre, dans \mathbb{R}, l'équation suivante :
f\left(x\right)=-27
Méthode 1 :
Pour tout x réel,
f\left(x\right)=-27 \Leftrightarrow x^3=-27
f\left(x\right)=-27 \Leftrightarrow x^3=\left(-3\right)^3
f\left(x\right)=-27 \Leftrightarrow x=-3
Méthode 2 :
Pour tout x réel,
f\left(x\right)=-27 \Leftrightarrow x^3=-27
f\left(x\right)=-27 \Leftrightarrow x^3+27=0
f\left(x\right)=-27 \Leftrightarrow x^3+3^3=0
On utilise l'identité remarquable suivante : a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)
Ainsi :
f\left(x\right)=-27 \Leftrightarrow \left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)=0
Or, x^2-3x+9, est un polynôme de degrés 2, dont le discriminant \Delta est négatif. (\Delta = -27)
Donc :
f\left(x\right)=-27 \Leftrightarrow \left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)=0
f\left(x\right)=-27 \Leftrightarrow \left(x+3\right)=0
f\left(x\right)=-27 \Leftrightarrow x=-3
L'ensemble des solutions de l'équation est S=\left\{ -3\right\}.