Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par :
f\left(x\right)=\dfrac{x^2-5}{3x^2+5x-8}
On sait qu'une fraction existe si et seulement si son dénominateur est non nul.
f\left(x\right) existe si et seulement si 3x^2+5x-8\neq0.
Résolvons 3x^2+5x-8=0 :
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times3\times\left(-8\right)=25+96=121
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{121}}{2\times3}=\dfrac{-5-11}{6}=\dfrac{-16}{6}=-\dfrac{8}{3}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{121}}{2\times3}=\dfrac{-5+11}{6}=\dfrac{6}{6}=1
D_f=\left]-\infty;-\dfrac{8}{3} \right[\cup\left]-\dfrac{8}{3};1 \right[\cup\left]1;+\infty \right[
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par :
f\left(x\right)=\dfrac{5x-1}{x-4}+\dfrac{3}{2x+5}
On sait qu'une fraction existe si et seulement si son dénominateur est non nul.
f\left(x\right) existe si et seulement si x-4\neq0 et 2x+5\neq0.
x-4=0\Leftrightarrow x=4
2x+5=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{2}
D_f=\left]-\infty;-\dfrac{5}{2} \right[\cup\left]-\dfrac{5}{2};4 \right[\cup\left]4;+\infty \right[
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par :
f\left(x\right)=\sqrt{-4x^2+2x+1}
On sait que la fonction racine carrée est définie sur \mathbb{R_+}.
f\left(x\right) existe si et seulement si -4x^2+2x+1\geqslant0.
On étudie donc le signe du trinôme du second degré -4x^2+2x+1 :
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times\left(-4\right)\times1=4+16=20
On en déduit que le trinôme est du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines et du signe contraire entre ses racines :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{20}}{2\times\left(-4\right)}=\dfrac{-2-2\sqrt{5}}{-8}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{20}}{2\times\left(-4\right)}=\dfrac{-2+2\sqrt{5}}{-8}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}
On peut ainsi dresser le tableau de signes du trinôme :
D_f=\left[\dfrac{1-\sqrt{5}}{4};\dfrac{1+\sqrt{5}}{4} \right]
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par :
f\left(x\right)=\sqrt{2x^2-5x-3}+\dfrac{3}{2x+9}
On sait qu'une fraction est définie si et seulement si son dénominateur est non nul.
Il faut 2x+9\neq0
2x+9=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{9}{2}
Ainsi : 2x+9\neq0\Leftrightarrow x\neq-\dfrac{9}{2}
De plus, la fonction racine carrée est définie sur \mathbb{R_+}.
\sqrt{2x^2-5x-3} existe si et seulement si 2x^2-5x-3\geqslant0.
On étudie donc le signe du trinôme du second degré 2x^2-5x-3 :
\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4\times2\times\left(-3\right)=25+24=49
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de a (ici positif car a = 2) à l'extérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines. Calculons les racines :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{49}}{2\times2}=\dfrac{5-7}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{49}}{2\times2}=\dfrac{5+7}{4}=\dfrac{12}{4}=3
On obtient le tableau de signes suivant :
Ainsi 2x^2-5x-3\geqslant0\Leftrightarrow x\in\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[3;+\infty\right[
De plus, x\neq-\dfrac{9}{2}
D_f=\left]-\infty;-\dfrac{9}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{9}{2};-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[3;+\infty\right[
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par :
f\left(x\right)=\dfrac{-x-5}{\sqrt{2x^2-12x+18}}
On sait que la fonction racine carrée est définie sur \mathbb{R_+}.
\sqrt{2x^2-12x+18} existe si et seulement si 2x^2-12x+18\geqslant0.
De plus, une fraction est définie si et seulement si son dénominateur est non nul.
Il faut \sqrt{2x^2-12x+18}\neq0
\sqrt{2x^2-12x+18}\neq0\Leftrightarrow2x^2-12x+18\neq0
Finalement f\left(x\right) existe si et seulement si 2x^2-12x+18\gt0
On étudie donc le signe du trinôme du second degré 2x^2-12x+18 :
\Delta=b^2-4ac=\left(-12\right)^2-4\times2\times18=144-144=0
\Delta=0, donc le trinôme est du signe de a (ici positif car a = 2) sur \mathbb{R} et s'annule en x_0 avec :
x_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{12}{4}=3
D_f=\left]-\infty;3\right[\cup\left]3;+\infty\right[
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par :
f\left(x\right)=\sqrt{2x^2-x-1}
On sait que la fonction racine carrée est définie sur \mathbb{R_+}.
f\left(x\right) existe si et seulement si 2x^2-x-1\geqslant0.
On étudie donc le signe du trinôme du second degré 2x^2-x-1 :
\Delta=b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4\times2\times\left(-1\right)=1+8=9
On en déduit que le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines et du signe contraire entre ses racines :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt{9}}{2\times2}=\dfrac{1-3}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt{9}}{2\times2}=\dfrac{1+3}{4}=\dfrac{4}{4}=1
On peut ainsi dresser le tableau de signes du trinôme :
D_f=\left]-\infty;-\dfrac{1}{2} \right]\cup\left[1;+\infty \right[