Les lentilles minces et le repérage algébrique
Il existe deux types de lentilles minces : les lentilles convergentes et divergentes. Le modèle de la lentille mince convergente permet d'introduire la notion de repérage algébrique des distances sur un schéma optique.
Les différents types de lentilles minces
Il existe deux types de lentilles minces : les lentilles convergentes et les lentilles divergentes.
Lentille
Une lentille est un milieu transparent limité par deux surfaces dont l'une au moins n'est pas plane.
Lentille mince
Une lentille est dite mince si l'épaisseur de sa partie centrale est négligeable par rapport à son diamètre et peut être assimilée à un point O, appelé centre optique. On définit \Delta comme l'axe optique principal, il passe par le point O. C'est aussi l'axe de symétrie de la lentille.
Les lentilles deviennent des faisceaux lumineux incidents, selon les lois de la réfraction. On distingue deux types de lentilles minces :
Le cristallin de l'œil est une lentille convergente, les rayons parallèles qui le traversent convergent au niveau de la rétine.
Le modèle de la lentille mince convergente
Le modèle de la lentille mince convergente est constitué par trois points caractéristiques : le centre optique, le foyer objet et le foyer image. On définit ces points par le comportement particulier des rayons lumineux qui y passent. On les place sur un schéma optique orienté qui nous permet de définir des longueurs algébriques.
Le comportement d'une lentille mince convergente est caractérisé par trois points caractéristiques :
- son centre optique O ;
- son foyer objet F ;
- son foyer image F'.
On définit ces points par le comportement des rayons lumineux y passant :
On appelle plan focal objet et plan focal image les plans perpendiculaires à l'axe optique passant respectivement par les foyers objet F et image F'.
Mesure algébrique
Une mesure algébrique est une longueur affectée d'un signe, ce qui permet d'en orienter le sens sur un axe donné. On l'indique d'un trait placé au-dessus de la longueur en question.
Dans l'expression de la distance focale d'une lentille mince convergente, la distance OF' est indiquée avec un trait au-dessus de sa notation pour signifier que la mesure est algébrique. Par exemple, on note \overline{OF'}_{\left(m\right)} la distance algébrique entre le centre optique O et le foyer image F'.
Généralement, l'axe horizontal est orienté dans le sens de propagation de la lumière donc vers la droite et l'axe vertical vers le haut, et les deux sens choisis comme positifs sont indiqués sur le schéma représentant la lentille.
- La mesure algébrique de la distance séparant les points O et F' est notée \overline{OF'} et elle est positive.
- La mesure algébrique de la distance séparant les points O et F est notée \overline{OF} et elle est négative.
Distance focale
La distance focale f' d'une lentille, exprimée en mètres (m), est la mesure algébrique de la distance séparant son centre optique O et son foyer image F' :
f'_{\left(\text{m}\right)} = \overline{OF'}_{\left(\text{m}\right)}
Le centre optique O et le foyer image F' d'une lentille convergente sont distants de 15 cm. Le foyer image d'une lentille convergente est situé après elle, dans le sens de propagation de la lumière. Sa distance focale est donc positive et :
\displaystyle{f' = \overline{OF'} = \text{0{,}15 m}}
La distance focale d'une lentille convergente est positive car son foyer image est situé après elle, dans le sens de propagation de la lumière. La distance focale d'une lentille divergente est négative car son foyer image est situé avant elle, dans le sens opposé à la propagation de la lumière.
La formation de l'image par une lentille mince convergente
Le modèle de la lentille convergente et le repérage algébrique permettent la détermination géométrique de l'image et de calculer son grandissement.
La détermination géométrique de la position de l'image
La détermination géométrique de l'image consiste à tracer précisément l'image que forme une lentille mince convergente à partir d'un « objet » lumineux.
Il s'agit toujours de tracer l'image que forme une lentille mince convergente à partir d'un « objet » lumineux, noté AB, perpendiculaire à l'axe optique (le point A étant généralement sur l'axe optique) :
Étape 1
On trace le rayon passant par le sommet B et par le centre optique O sachant qu'il émerge de la lentille sans être dévié.
Étape 2
On trace le rayon passant par le sommet B et parallèle à l'axe optique sachant qu'il émerge de la lentille en passant par le foyer image F'.
Étape 3
On trace le rayon passant par le sommet B et le foyer objet F sachant qu'il émerge de la lentille parallèle à l'axe optique.
Étape 4
On note le point B', image du point B, au niveau de l'intersection des trois rayons lumineux.
Étape 5
On note le point A', image du point A, en projetant orthogonalement le point B' sur l'axe optique. L'image A'B' est alors représentée par un segment fléché de A' vers B'.
On définit la position de l'image par la distance algébrique \overline{OA'}, généralement à l'aide d'une échelle.
Dans cette situation, A' est à 12 carreaux du centre O dans le sens de propagation de la lumière. Par conséquent, avec une échelle de 2 carreaux = 1 cm, la position de l'image est \overline{OA'}=6{,}0 \text{ cm}.
Le grandissement
Le grandissement est une grandeur sans unité. Il permet de relier les dimensions de l'image à celles de l'objet. On peut le calculer à partir des tailles de l'objet et de l'image ou de la distance entre l'objet et l'image par rapport au centre optique.
La taille de l'image est définie par la distance algébrique \overline{A'B'}. Elle peut être déterminée sur un schéma optique, à l'aide d'une échelle ou à partir du grandissement.
Dans cette situation, B' est 4 carreaux en dessous de A', dans le sens opposé à celui de propagation de la lumière. Ainsi, avec une échelle de 1 carreau = 0,5 cm, la taille de l'image est \overline{A'B'}=-2{,}0 \text{ cm}.
Le grandissement et la taille de l'image
Le grandissement est le quotient de la taille algébrique de l'image par celle de l'objet. Si le grandissement est négatif, l'image est renversée. Dans le cas contraire, l'image est droite.
Le grandissement, noté \gamma, est le rapport, sans unité, de la taille de l'image, \overline{A'B'}, sur celle de l'objet, \overline{AB} :
\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}
Dans cette situation, on a déjà déterminé \overline{A'B'}=-2{,}0 \text{ cm}. Le point B est situé à deux carreaux du point A dans le sens positif donc \overline{AB}=1{,}0 \text{ cm}, donc le grandissement est :
\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}
\gamma=\dfrac{-2{,}0}{1{,}0}
\gamma=-2{,}0
Le grandissement renseigne aussi sur la nature de l'image :
- Si \gamma\gt0, l'image est dans le même sens que l'objet et si \gamma\lt0 l'image est renversée.
- Si \left| \gamma \right|\gt1, l'image est agrandie et si \left| \gamma \right|\lt1, l'image est réduite.
Dans cette situation, \gamma=-2{,}0, \gamma\lt0) et \left| \gamma \right|\gt1. L'image est donc renversée et agrandie.
Le grandissement et la distance de l'image
Par rapport au centre optique de la lentille, le grandissement est égal au quotient de la distance algébrique de l'image par celle de l'objet. Si, en valeur absolu, le grandissement est inférieur à 1, l'image est réduite. Dans le cas contraire, l'image est agrandie.
Le grandissement est aussi lié aux positions de l'objet et de l'image :
\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}
Dans cette situation, le grandissement selon la taille de l'objet et de l'image est :
\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}
\gamma=\dfrac{-2{,}0}{1{,}0}
\gamma=-2{,}0
\overline{OA}=-6{,}0 \text{ cm}. On retrouve donc bien ce résultat à partir des positions de l'objet et de l'image par rapport au centre optique O :
\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}
\gamma=\dfrac{12{,}0}{-6{,}0}
\gamma=-2{,}0
D'après le théorème de Thalès :
\dfrac{AB}{OA}=\dfrac{A'B'}{OA'}
D'où :
\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{OA'}{OA}
L'œil : sa modélisation, son accommodation et ses anomalies
La ressemblance de l'œil avec une lentille mince convergente permet de modéliser son fonctionnement. La déformation du cristallin permet l'accommodation de l'œil pour visualiser un objet. Les anomalies de vision sont liées à un défaut de convergence du cristallin ou à une taille inadéquate de l'œil.
La modélisation de l'œil
L'œil possède des éléments optiques qui lui permettent d'assurer la vision. L'iris est le diaphragme, le cristallin est la lentille et la rétine est l'écran.
L'œil possède des éléments optiques qui lui permettent d'assurer la vision :
| Élément de l'œil | Rôle | Peut être modélisé par... |
|---|---|---|
| L'iris | Réguler la quantité de lumière incidente | Un diaphragme |
| Le cristallin | Faire converger les rayons lumineux | Une lentille mince convergente |
| La rétine | Recevoir l'image formée | Un écran |
Sur la rétine, l'image est renversée. Elle est transmise au cerveau via le nerf optique et elle y est remise à l'endroit.
L'accommodation de l'œil
La position de l'image formée par une lentille varie avec la distance objet-lentille. Pour que l'image formée par le cristallin soit sur la rétine quelle que soit la position de l'objet, l'œil accommode. Pour accommoder, l'œil change sa distance focale en fonction de la distance de l'objet en contractant les muscles ciliaires qui entourent le cristallin. Ils déforment ainsi le cristallin.
La distance focale d'un œil sans défaut au repos (muscles relâchés) est en moyenne de 1,67 cm, ce qui est aussi la distance séparant le cristallin de la rétine : ainsi, le foyer image du cristallin est positionné sur la rétine, ce qui permet une vision sans fatigue d'un objet situé à l'infini, caractérisé par un faisceau de lumière parallèle :
La position de l'image formée par une lentille varie avec la distance objet-lentille. Pour que l'image formée par le cristallin soit sur la rétine quelle que soit la position de l'objet, l'œil accommode : les muscles ciliaires qui entourent le cristallin se contractent et déforment celui-ci, ce qui diminue sa distance focale (et le rend donc davantage convergent).
L'accommodation de l'œil a ses limites. Ainsi, La distance focale minimale d'un œil sans défaut est en moyenne de 1,57 cm, ce qui fait que l'image se forme encore sur la rétine pour un objet situé au plus près à environ 25 cm de l'œil (distance minimale de vision nette).
C'est la contraction prolongée des muscles ciliaires qui est responsable de la sensation de fatigue visuelle. Celle-ci peut donc être atténuée en observant un objet situé à l'infini (quelques dizaines de mètres, en pratique), ce qui permet à ces muscles de se relâcher.
Les anomalies de vision
Les anomalies de vision, comme la myopie ou l'hypermétropie, sont liées à un défaut de convergence du cristallin ou à une taille inadéquate de l'œil.
Les anomalies de vision, comme la myopie ou l'hypermétropie, s'expliquent par défaut de convergence du cristallin ou par une taille inadéquate de l'œil :
- Dans un œil myope, l'image se forme avant la rétine à cause d'un cristallin trop convergent ou d'un œil trop long :
- Dans un œil hypermétrope, l'image se forme après la rétine à cause d'un cristallin pas assez convergent ou d'un œil trop court :
