Une nouvelle exoplanète a été détectée, le 15 septembre 2005, par une équipe européenne d'astronomes. La planète HD 189 733b de la constellation du petit renard a pu être détectée et étudiée simultanément par la combinaison de deux méthodes : vitesse radiale et occultation. Elle est une des rares exoplanètes dont les chercheurs ont, à ce jour, pu déterminer à la fois la masse exacte et le rayon et conclure qu'il s'agit d'un "gros Jupiter chaud". De ce fait, et compte tenu de la proximité (environ 60 années-lumière de la Terre), l'exoplanète HD 189 733b offre à la communauté scientifique de riches horizons d'études complémentaires. (http://www.insu.cnrs.fr).
Cet exercice aborde certains aspects du principe de détection de cette exoplanète et envisage sa possible habitabilité.
Principe de la méthode de vélocimétrie
Dans un système {étoile-planète}, la planète et l'étoile sont en mouvement de rotation autour du centre de gravité G du système. On enregistre les spectres de raies de l'étoile sur des cycles de plusieurs nuits, ce qui permet de mettre en évidence des oscillations périodiques de la longueur d'onde des raies observées. Ces oscillations peuvent être reliées, grâce à l'effet Doppler, au mouvement de rotation de l'étoile autour du centre de gravité du système. La vitesse radiale de l'étoile (vitesse suivant l'axe d'observation Terre-étoile) peut alors être déterminée par cette étude. Elle est composée d'une vitesse moyenne (vitesse du système par rapport à l'observateur terrestre) à laquelle s'ajoute une perturbation qui varie périodiquement. La période de la perturbation donne la période du mouvement de l'étoile qui est aussi la période du mouvement de la planète.
D'après http://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/
La méthode des vitesses radiales utilisée permet de distinguer assez facilement les orbites circulaires des orbites elliptiques. Les planètes en orbite circulaire correspondent à des étoiles dont les variations de vitesse radiale sont régulières et symétriques en forme de sinusoïde (graphe de gauche). Lorsque la trajectoire est une ellipse allongée, il apparaît des "pics" dans la courbe de vitesses (graphe de droite).
D'après F. Casoli & T. Encrenaz, Planètes extrasolaires, 2005
Système {étoile-exoplanète} HD 189 733
Le graphe ci-dessous représente une modélisation des variations de la vitesse radiale de l'étoile du système HD 189 733 autour de sa vitesse moyenne obtenue à partir de mesures réalisées à l'observatoire de Haute-Provence par une équipe de chercheurs en juillet 2008.
L'étoile du système HD 189 733 est une étoile dont les caractéristiques sont assez proches de celles du Soleil : les températures de surface sont voisines, la masse de l'étoile est M = 0{,}82 × M_0 où M_0 est la masse du Soleil (M_0 = 1{,}989 × 10^{30} kg).
Variation des vitesses radiales de l'étoile du système HD 189 733
Le décalage spectral est lié au mouvement de rotation de l'étoile autour du centre de gravité G. On rappelle que le décalage spectral \Delta\lambda = \lambda - \lambda_{mesurée}, où \lambda est une longueur d'onde de référence et \lambda_{mesurée} sa valeur perçue depuis la Terre, permet de déterminer la vitesse v de déplacement du système par la relation :
| \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda} = \dfrac{v}{c} | c : célérité de la lumière dans le vide \lambda : longueur d'onde de la raie de référence ( \lambda = 656,2 nm) |
Quelles mesures, réalisées par l'observatoire de Haute-Provence, ont permis de tracer la courbe du document 2 ?
Texte
D'après la relation donnée, la vitesse radiale de l'étoile est liée au décalage spectral \Delta \lambda :
v = \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda} \times c
Pour calculer cette vitesse, les scientifiques ont donc comparé les longueurs d'onde des raies d'absorption présentes dans le spectre de la lumière émise par cette étoile à celles mesurées sur Terre, puis calculé le décalage spectral \Delta \lambda.
Pour détecter la présence d'une planète extrasolaire, on repère une certaine périodicité dans la variation de vitesse radiale : ceci permet d'affirmer qu'il existe bien un système exoplanétaire.
Quelles sont les périodes de révolution de l'étoile du système HD 189 733 et celles de l'exoplanète de ce même système ?
La période orbitale correspond à la durée d'un motif élémentaire du graphique présenté dans le document 2.
Pour plus de précision, on détermine la durée de quatre périodes orbitales.
On a :
4T= 2\ 454\ 309{,}8-2\ 454\ 301
4T = 8{,}8 jours
D'où :
T = \dfrac{8{,}8}{4}=2{,}2 jours
La période de révolution l'étoile du système HD 189 733 est de 2,2 jours.
Or d'après le document 1, la période de révolution d'une étoile et celle de son exoplanète sont égales.
La période de révolution de l'étoile du système HD 189 733 ainsi que celle de l'exoplanète est de 2,2 jours.
Quelle est la nature de la trajectoire de l'exoplanète autour du centre de gravité G ?
Les variations de vitesse radiale de l'étoile sont régulières et symétriques en forme de sinusoïde. D'après le document 1, cela signifie que l'exoplanète a un mouvement circulaire.
La trajectoire de l'exoplanète est donc un cercle de centre G.
La masse de l'étoile étant beaucoup plus importante que la masse de la planète, on fera l'hypothèse dans la suite de l'exercice que le centre de gravité G du système peut être confondu avec le centre de l'étoile, les résultats établis restant valables.
Quelle loi permet de dire que le mouvement de l'exoplanète du système HD 189 733 est nécessairement uniforme ?
On suppose que le centre de gravité du système est confondu avec le centre de l'étoile.
D'après la seconde loi de Kepler (loi des aires) : le segment de droite reliant les centres de gravité d'une étoile et de sa planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
Or, la trajectoire de l'exoplanète est un cercle. On en déduit que pendant une même durée \Delta t, les distances parcourues d_{1} et d_{2} par l'exoplanète sont égales.
On en déduit que les vitesses v_{1}=\dfrac{d_{1}}{\Delta t} et v_{2}=\dfrac{d_{2}}{\Delta t} sont identiques.
Le mouvement de l'exoplanète est donc uniforme.
Habitabilité de l'exoplanète du système HD 189 733
Zone d'habitabilité d'une planète
La zone d'habitabilité se définit par une fourchette de distance entre une planète et son étoile. Elle correspond à une zone dans laquelle la quantité d'énergie reçue par la planète permet à l'eau d'exister sous forme liquide. Dans notre système solaire, c'est le cas de la Terre située à 1 U.A. qui reçoit environ 1000 Watts par mètre carré d'énergie rayonnée par le Soleil. Si l'on s'approche du Soleil et que l'on dépasse Vénus situé à 0,723 U.A., la quantité d'énergie reçue est trop importante et l'eau se vaporise. Si on s'en éloigne et que l'on dépasse Mars située à 1,52 U.A., alors l'eau n'existe plus que sous forme de glace. Or, seule l'eau liquide permet à la vie d'exister sous la forme que nous lui connaissons.
La taille et la position de la zone d'habitabilité dépend naturellement de la puissance de l'étoile qui émet le rayonnement lumineux. Si l'étoile est petite, la zone d'habitabilité sera beaucoup plus proche d'elle que s'il s'agit d'une étoile géante.
Donnée : 1 U.A. = 1{,}50 × 10^8 km
D'après http://www.sciencesetavenir.fr
On se propose à présent de déterminer la distance séparant l'étoile de son exoplanète.
Que dit la troisième loi de Kepler ?
La troisième loi de Kepler énonce que le rapport entre le carré de la période de révolution T d'une planète autour d'une étoile et le cube de la longueur a du demi-grand axe est égale à une même constante.
\dfrac{T^{2}}{a^{3}}=constante
En appliquant la deuxième loi de Newton et la troisième loi de Kepler dans le repère représenté ci-dessous, on trouve une relation liant la période de révolution d'une planète et la masse de l'étoile autour de laquelle elle tourne.
Quelle est cette relation ?
Dans le référentiel de l'étoile supposé galiléen, on applique la deuxième loi de Newton au système {exoplanète} : on peut écrire que :
\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F_{Ext.}}\mathrm{=}\dfrac{\overrightarrow{dp}}{dt}
La masse de l'exoplanète ne variant pas au court du temps, on peut écrire :
\dfrac{\overrightarrow{dp}}{dt}=\dfrac{d\left(m.\overrightarrow{v}\right)}{dt}=m.\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}=m.\overrightarrow{a}
\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F_{Ext.}}\mathrm{=}\dfrac{\overrightarrow{dp}}{dt}=m.\overrightarrow{a}
Or, l'exoplanète n'est soumise qu'à la force d'attraction gravitationnelle de l'étoile.
D'où :
\overrightarrow{F}\mathrm{=}m.\overrightarrow{a}
La trajectoire de l'exoplanète est un cercle de rayon R donc l'expression vectorielle de la force gravitationnelle \overrightarrow{F} est \overrightarrow{\mathrm{F}}\mathrm{=}G\dfrac{m\mathrm{\times }M}{R^{\mathrm{2}}}\overrightarrow{u} .
Ainsi :
G\dfrac{m\mathrm{\times M}}{R^{\mathrm{2}}}\overrightarrow{u}\mathrm{=}m\mathrm{\times }\overrightarrow{a}
En simplifiant la masse de l'exoplanète, l'accélération s'écrit :
\overrightarrow{a}=G\mathrm{\times }\dfrac{M}{R^{\mathrm{2}}}.\overrightarrow{u}
Dans le repère de Frenet \left(\mathrm{Exoplanète,}\overrightarrow{n},\overrightarrow{t}\right), pour un mouvement circulaire, le vecteur accélération s'écrit :
\overrightarrow{a}\mathrm{=}\overrightarrow{a_N}\mathrm{+}\overrightarrow{a_T}\mathrm{=}\dfrac{v^{\mathrm{2}}}{R}\overrightarrow{n}\mathrm{+}\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}
Comme \overrightarrow{n}\mathrm{=}\overrightarrow{u}, on obtient :
\overrightarrow{a}\mathrm{=}\dfrac{v^{\mathrm{2}}}{R}\overrightarrow{u}\mathrm{+}\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}
On obtient :
\dfrac{G\mathrm{\times }{M}}{R^{\mathrm{2}}}\overrightarrow{u}\mathrm{=}\dfrac{v^{\mathrm{2}}}{R}\overrightarrow{u}\mathrm{+}\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}
Par identification, on en déduit :
\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{G\mathrm{\cdot }M}{R^{\mathrm{2}}}\mathrm{=}\dfrac{v^{\mathrm{2}}}{R}\ \left(selon\ \overrightarrow{u}\right) \\\mathrm{0=}\dfrac{dv}{dt}\mathrm{\Rightarrow }v\mathrm{=}cte\ \left(selon\ \overrightarrow{t}\right) \end{array}\right.
En utilisant la relation \dfrac{G\mathrm{\times }M}{R^{\mathrm{2}}}\mathrm{=}\dfrac{v^{\mathrm{2}}}{R}\\ : donc on en déduit que v\mathrm{=}\sqrt{\dfrac{G\mathrm{\times }M}{R}}.
Pendant une période de révolution T, l'exoplanète parcourt une orbite de longueur 2πR à la vitesse v autour de l'étoile : T=\dfrac{\mathrm{2}\pi \mathrm{\times }R}{v}\\.
D'où :
T=\dfrac{\mathrm{2}\pi \mathrm{\times }R}{\sqrt{\dfrac{G\mathrm{\times }M}{R}}}\\
On en déduit que :
T^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\dfrac{\mathrm{4}\pi \mathrm{\textrm{²}\times }R^{\mathrm{2}}}{\dfrac{G\mathrm{\times }M}{R}}=\dfrac{\mathrm{4}\pi \mathrm{\textrm{²}\times }R^{\mathrm{3}}}{G\mathrm{\times }M}
\dfrac{T^{\mathrm{2}}}{R^{\mathrm{3}}}\mathrm{=}\dfrac{\mathrm{4}\pi \mathrm{\textrm{²}}}{G\mathrm{\times }M}
Combien vaut alors la distance moyenne entre la planète et l'étoile ?
Donnée : la constante de gravitation universelle : G = 6{,}67×10^{-11} N.m^2 .kg^{-2}
D'après la question précédente, on peut écrire que :
R^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\dfrac{G\mathrm{\times }M\mathrm{\times }T^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{\pi }^{\mathrm{2}}}
D'où :
R\mathrm{=}{\left(\dfrac{G\mathrm{\times }M\mathrm{\times }T^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{\pi }^{\mathrm{2}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}
On effectue l'application numérique :
R\mathrm{=}{\left(\dfrac{\mathrm{6{,}67\times 1}0^{\mathrm{-}\mathrm{11}}\mathrm{\times 0{,}82 \times 1{,}989 \times 1 }0^{\mathrm{30}}\mathrm{\times \left(1{,}92 \times 10^5 \right)\textrm{²}}}{\mathrm{4}\pi \mathrm{\textrm{²}}}\right)}^{\mathrm{1/3}}
\boldsymbol{R}\mathrm{=4{,}7\times 1}0^{\mathrm{9}} m
La distance moyenne entre la planète et l'étoile est de : \mathrm{4{,}7\times 1}0^{\mathrm{9}}m.
La planète du système HD 189 733 appartient-elle à la zone d'habitabilité ?
Le document 3 permet de dire si une planète est potentiellement habitable en fonction du rayon de son orbite, exprimé en U.A. Il faut donc convertir le rayon de l'orbite de la planète dans cette unité :
R = \dfrac{4{,}7 \times 10^9}{1{,}50 \times 10^{11}}
R = 3{,}1 \times 10^{-2} U.A.
D'après le document 3, une planète semble habitable lorsque le rayon de son orbite est compris entre 0,723 U.A. et 1,52 U.A. (la quantité d'énergie reçue par la planète est alors propice à la vie). Ici, R \lt 0{,}723 U.A.
La planète du système HD 189 733 n'appartient pas à la zone d'habitabilité.