Dans la saga Star Wars, deux héros, Luke et Anakin Skywalker, ont passé leur enfance sur la planète Tatooine. Cette planète désertique a la particularité d'être en orbite autour de deux étoiles : Tatoo 1 et Tatoo 2.
On se propose de déterminer quelques caractéristiques de cette planète et de ses deux étoiles à partir de données extraites du film.
Données :
- masse et rayon du Soleil et de la Terre :
| Soleil | Terre | |
|---|---|---|
| Masse (kg) | 2,0 x 1030 | 6,0 x 1024 |
| Rayon (km) | 7,0 x 105 | 66,4 x 103 |
- constante gravitationnelle : G = 6{,}67 × 10^{-11} m^3 .s^{-2}.kg^{-1}
- volume d'une sphère de rayon V = \dfrac{4}{3}\pi r^3
Image du film Star wars Episode IV : A new hope (© Lucasfilm Ltd) Luke Skywalker marchant au coucher de soleils.
Les étoiles Tatoo 1 et Tatoo 2
L'orbite de Tatooine
Impossible d'évoquer la célèbre planète Tatooine, repère de brigands galactiques sur lequel règne le fameux Jabba le Hutt, sans parler de ses deux soleils (ou étoiles).
Cette particularité n'est pas si étonnante quand on considère que les deux tiers des étoiles visibles à l'œil nu font partie d'un système multiple. Le problème n'est donc pas de trouver une étoile double, mais de comprendre comment une planète peut évoluer dans un tel système.
(…) L'orbite de Tatooine pourrait englober ses deux soleils à la fois. Ce type d'orbite n'est stable que si la distance qui sépare la planète de ses soleils est au moins quatre fois plus grande que celle qui sépare les étoiles. Du point de vue de la planète, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient qu'une. Peut-on estimer le rayon de l'orbite de Tatooine ? Oui, bien sûr !
(…) Remarquons d'abord que les deux étoiles sont assez semblables à notre Soleil : l'une est jaune et l'autre est orange, laissant supposer qu'elle est un peu plus froide. Si ces deux étoiles étaient trop proches l'une de l'autre, elles devraient être déformées par leur gravité mutuelle. Comme aucune déformation n'est perceptible dans la scène du coucher des soleils, on peut calculer que leur distance est légèrement supérieure à 10 millions de kilomètres. Pour avoir une orbite stable Tatooine doit donc être distante de ces deux étoiles d'au moins 40 millions de kilomètres. En fait, elle ne doit pas être si près, sous peine d'être vraiment trop chaude et totalement inhabitable. Deux cent millions de kilomètres est une bonne position : à cette distance, Tatooine reçoit une énergie lumineuse un peu supérieure à celle qui frappe la Terre, ce qui expliquerait son aspect désertique.
D'après Carte blanche à Roland Lehoucq, astrophysicien, http://www.knowtex.com/nav/les-secrets-de-star-wars_26 418
On suppose que Tatoo 1 et Tatoo 2 ne sont pas déformées et sont à égale distance de Tatooine. Pour déterminer leur rayon, on mesure sur la photographie de l'énoncé les longueurs Dphoto et 2rphoto représentées sur la figure suivante :
On mesure ainsi : D_{photo} = 19 mm et 2r_{photo} = 6 mm.
Sachant que la distance qui sépare les 2 étoiles est 10 millions de kilomètres, quelle relation permet de calculer, en kilomètres, le rayon commun des 2 étoiles ?
D'après le texte, la distance entre les deux étoiles Tatoo 1 et Tatoo 2 est "légèrement supérieure à 10 millions de kilomètres".
| Distance sur la photo | Distance dans la réalité |
|---|---|
| Dphoto | D = 10 millions de km |
| 2 rphoto | 2 rTatoo = ? |
Par proportionnalité on obtient :
r _{Tatoo}= \dfrac{r_{photo} \times 10.10^6}{D_{photo} }
r _{Tatoo}= \dfrac{r_{photo} \times 10.10^6}{D_{photo} }
Sur la photographie, on mesure :
- D_{photo} = 19 mm
- 2r_{photo} = 6 mm
Combien vaut alors le du rayon de chacune des deux étoiles ?
On a donc :
r _{Tatoo}= \dfrac{r_{photo} \times 10.10^6}{D_{photo} }
r _{Tatoo}= \dfrac{\dfrac{6}{2} \times 10.10^6}{19}
r _{Tatoo}= 1{,}5 million de km.
Avec la démarche que l'on vient d'adopter, peu précise, on peut admettre que la valeur du rayon de chacune des deux étoiles est environ égale à deux millions de kilomètres.
On suppose que les deux étoiles ont la même masse volumique moyenne que le Soleil.
Quelle relation permet d'évaluer l'ordre de grandeur de la masse MTatoode Tatoo (1 ou 2) ?
omme indiqué dans le sujet, on suppose que les étoiles ont la même masse volumique que le Soleil.
On a alors l'égalité :
{\rho }_{\mathrm{Soleil\ }}\mathrm{=}{\rho }_{\mathrm{Tatoo\ }}=\dfrac{M_{Soleil}}{V_{Soleil}}\mathrm{=}\dfrac{M_{Soleil}}{\dfrac{\mathrm{4}}{\mathrm{3\\}}\pi r^{\mathrm{3}}_{Soleil}} \mathrm{=\ }\dfrac{M_{Tatoo}}{\dfrac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\pi r^{\mathrm{3}}_{Tatoo}}
D'où :
\dfrac{M_{Soleil}}{\dfrac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\pi r^{\mathrm{3}}_{Soleil}} \mathrm{=\ }\dfrac{M_{Tatoo}}{\dfrac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\pi r^{\mathrm{3}}_{Tatoo}}
M_{\mathrm{Tatoo}}\mathrm{=}M_{Soleil}\mathrm{\times }\dfrac{\dfrac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\pi r^{\mathrm{3\\}}_{Tatoo}}{\dfrac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\pi r^{\mathrm{3}}_{Soleil}}= M_{SOLEIL}\mathrm{\times }{\left(\dfrac{r_{Tatoo}}{r_{Soleil}}\right)}^{\mathrm{3}}
M_{Tatoo} = M_{SOLEIL}\mathrm{\times }{\left(\dfrac{r_{Tatoo}}{r_{Soleil}}\right)}^{\mathrm{3}}
Quelle est alors la masse des étoiles Tatoo (1 ou 2) ?
On effectue l'application numérique :
M_{Tatoo}\mathrm{=2{,}0\times 1}0^{\mathrm{30}}\mathrm{\times }{\left(\dfrac{\mathrm{2\times 1}0^{\mathrm{6}}}{\mathrm{7{,}0\times 1}0^{\mathrm{5}}}\right)}^{\mathrm{3}}\mathrm{=4{,}7\times }10^{\mathrm{31}} kg
L'ordre de grandeur de la masse de Tatoo est de 1031 kg.
M_{Tatoo} =4{,}7\times }10^{\mathrm{31} kg
Tatooine en orbite
Du point de vue de Tatooine, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient qu'une, l'étoile unique équivalente sera appelée Tatoo 1-2 ; sa masse sera prise égale à 9,5 × 1031 kg.
Quelle phrase du document 1 permet de justifier cette affirmation ?
D'après le texte, "du point de vue de l'étoile, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient qu'une".
Quel schéma représente correctement la force d'attraction gravitationnelle exercée par Tatoo 1-2 sur Tatooine ainsi que le vecteur accélération de la planète Tatooine dans le référentiel lié à Tatoo 1-2 ?
On sait que :
- La force d'attraction gravitationnelle exercée par Tatoo 1-2 sur Tatooine est dirigée vers le centre de gravité de cette étoile.
- L'accélération de la planète est colinéaire à la force d'attraction gravitationnelle qu'elle subit (d'après la deuxième loi de Newton).
D'où le schéma suivant :
Quelle relation, obtenue en appliquant à la planète Tatooine la deuxième loi de Newton dans le repère mobile permet de montrer que le mouvement, supposé circulaire, est uniforme ?
On effectue un schéma présentant le bilan des forces sur Tatooine :
Dans le référentiel des étoiles Tatoo 1-2 supposé galiléen, on applique la deuxième loi de Newton au système {Tatooine}.
On a alors :
\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F_{Ext.}}\mathrm{=}\dfrac{\overrightarrow{dp}}{dt}
La masse de Tatooine ne variant pas au court du temps, on peut écrire :
\dfrac{\overrightarrow{dp}}{dt}=\dfrac{d\left(m.\overrightarrow{v}\right)}{dt}=m.\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}=m.\overrightarrow{a}
\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F_{Ext.}}\mathrm{=}\dfrac{\overrightarrow{dp}}{dt}=m.\overrightarrow{a}
Or, l'exoplanète n'est soumise qu'à la force d'attraction gravitationnelle de l'étoile.
D'où :
\overrightarrow{F}\mathrm{=}m.\overrightarrow{a}
La trajectoire de Tatooine est un cercle de rayon R donc l'expression vectorielle de la force gravitationnelle \overrightarrow{F} est \overrightarrow{\mathrm{F}}\mathrm{=}G\dfrac{m\mathrm{\times }M}{R^{\mathrm{2}}}\overrightarrow{u} .
Ainsi :
G\dfrac{M_{T_{1-2}}\mathrm{\times M_{T}}}{R^{\mathrm{2}}}\overrightarrow{n}\mathrm{=}M_{T}\mathrm{\times }\overrightarrow{a}
En simplifiant la masse de Tatooine, l'accélération s'écrit :
\overrightarrow{a}=G\mathrm{\times }\dfrac{M_{T_{1-2}}}{R^{\mathrm{2}}}.\overrightarrow{n}\\
Dans le repère de Frenet \left(\mathrm{Tatooine,}\overrightarrow{n},\overrightarrow{t}\right), pour un mouvement circulaire, le vecteur accélération s'écrit :
\overrightarrow{a}\mathrm{=}\overrightarrow{a_N}\mathrm{+}\overrightarrow{a_T}\mathrm{=}\dfrac{v^{\mathrm{2}}}{R}\overrightarrow{n}\mathrm{+}\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}
On obtient :
G\mathrm{\times }\dfrac{M_{T_{1-2}}}{R^{\mathrm{2}}}.\overrightarrow{n}\mathrm{=}\dfrac{v^{\mathrm{2}}}{R}.\overrightarrow{n}\mathrm{+}\dfrac{dv}{dt}.\overrightarrow{t}
Par identification, on en déduit :
\left\{ \begin{array}{l}G\mathrm{\times }\dfrac{M_{T_{1-2}}}{R^{\mathrm{2}}}\mathrm{=}\dfrac{v^{\mathrm{2}}}{R}\ \left(selon\ \overrightarrow{n}\right) \\\mathrm{0=}\dfrac{dv}{dt}\ \left(selon\ \overrightarrow{t}\right) \end{array}\right.
Comme on obtient que \dfrac{dv}{dt}=0,
Cela signifie que la vitesse de Tatooine est constante.
Toujours à l'aide de la deuxième loi de Newton appliquée à la planète Tatooine dans le repère mobile, quelle relation liant sa période de révolution au rayon de son orbite trouve-t-on ?
On utilise la relation trouvée précédemment (projection sur le vecteur \overrightarrow{n} ) :
G\mathrm{\times }\dfrac{M_{T_{1-2}}}{R^{\mathrm{2}}}\mathrm{=}\dfrac{v^{\mathrm{2}}}{R}\
De plus, pendant une période de révolution T, Tatooine parcourt une orbite de longueur 2πR à la vitesse v autour de l'étoile :
T=\dfrac{\mathrm{2}\pi \mathrm{\times }R}{v}\\.
D'où :
T=\dfrac{\mathrm{2}\pi \mathrm{\times }R}{\sqrt{\dfrac{G\mathrm{\times }M_{T_{1-2}}}{R}}}\\
On en déduit que :
T^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\dfrac{\mathrm{4}\pi \mathrm{\textrm{²}\times }R^{\mathrm{2}}}{\dfrac{G\mathrm{\times }M_{T_{1-2}}}{R}}=\dfrac{\mathrm{4}\pi \mathrm{\textrm{²}\times }R^{\mathrm{3}}}{G\mathrm{\times }M_{T_{1-2}}}
T=2\Pi\sqrt{\dfrac{R^{3}}{G\times M_{T_{1-2}}}}
T=2\Pi\sqrt{\dfrac{R^{3}}{G\times M_{T_{1-2}}}}
Quelle est, d'après les résultats précédents et les valeurs données dans le texte, la valeur de la période de révolution de Tatooine ?
On effectue l'application numérique :
T = 2\Pi \sqrt{\dfrac{\left(200\times 10^{6}\times10^{3}\right)^{3}}{6{,}67\times 10^{-11}\times 9{,}5\times 10^{31}}}
T =7{,}06 \times 10^{6} s
Soit, en années :
T=\dfrac{7{,}06\times 10^{6}}{3\ 600\times24\times365{,}25}
T = 0{,}22 année
T =7{,}06 \times 10^{6}, soit 0,22 année.