Soit Titan satellite naturel qui tourne selon une orbite circulaire autour d'Uranus à une distance de 1,22.109 m. Le référentiel uranocentrique est supposé galiléen.
Données :
- La masse d'Uranus vaut 568.1024 kg.
- La constante universelle de gravitation vaut 6,67.10-11 N.m2.kg-2.
Quelle est la vitesse de la planète sur son orbite ?
L'expression de l'accélération dans la base de Frenet est :
\overrightarrow{a}= \dfrac{ d v}{d t} \overrightarrow{u}_t+ \dfrac{ v^2}{r} \overrightarrow{u}_n
L'expression de la force de gravitation est :
\overrightarrow{F} = G\dfrac{m M}{r^2} \overrightarrow{u}_n
La deuxième loi de Newton donne :
\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}
Ainsi, on obtient :
G\dfrac{m M}{r^2} \overrightarrow{u}_n= m\dfrac{ d v}{d t} \overrightarrow{u}_t+ m\dfrac{ v^2}{r} \overrightarrow{u}_n
Et en projetant sur les deux directions de la base de Frenet, on obtient :
\begin{cases} G\dfrac{m M}{r^2} = m \dfrac{ v^2}{r} \cr \cr 0= \dfrac{ d v}{d t} \end{cases}
Selon la deuxième équation le mouvement est uniforme.
D'après la seconde équation : v=\sqrt{\dfrac{ G M}{r}} .
Finalement :
v=\sqrt{\dfrac{ 6{,}67.10^{-11} \times 568.10^{24}}{1{,}22.10^9}}
v\simeq 5{,}57 km.s-1
La vitesse vaut : v\simeq 5{,}57 km.s-1.
Quelle est la période T de révolution ?
Comme le mouvement est uniforme : v=\dfrac{2 \pi r}{T}.
D'où :
\sqrt{\dfrac{ G M}{r}}=\dfrac{2 \pi r}{T}.
Ainsi :
T =2 \pi\sqrt{\dfrac{r^3 }{G M}} (on retrouve la troisième loi de Kepler).
On effectue l'application numérique :
T =2 \pi\sqrt{\dfrac{\left(1{,}22.10^9\right)^3 }{6{,}67.10^{-11}\times 568.10^{24}}}
T\simeq 1{,}38.10^6 s
La période de l'orbite vaut environ 16 jours.