Soit f une fonction affine de la forme f(x) = mx + p, où m et p sont des réels.
Vrai ou faux ? f est définie sur \mathbb{R}.
Vrai. Toute fonction affine est définie sur \mathbb{R}. En effet, \forall x \in \mathbb{R}, f(x) est bien un réel.
Soit f une fonction affine définie sur \mathbb{R} de la forme f(x) = mx+p, où m et p sont des réels.
Soient a un réel quelconque et h un réel non nul.
On note \tau_{f,a,a+h} le taux de variation de f entre a et a+h.
Vrai ou faux ? f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel l = \lim\limits_{h \to 0} \tau_{f, a, a+h} et on a alors f'(a) = l.
Vrai. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a\in I.
On dit que f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel l tel que :
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=l\\\Leftrightarrow \lim\limits_{h\to 0}\tau_{f,a,a+h}=l\\
On a alors f'(a)=l.
Soit f une fonction affine définie sur \mathbb{R} de la forme f(x) = mx + p, où m et p sont des réels.
Soient a un réel quelconque et h un réel non nul.
On note τ_{f,a,a+h} le taux de variation de f entre a et a+h.
Que vaut f'(a) ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a\in I.
On dit que f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel l tel que :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = l\\\Leftrightarrow \lim\limits_{h \to 0} \tau_{f,a,a+h} = l
On a alors f'(a) = l.
Or, ici :
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\`\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{m(a+h) + p-(ma+p)}{h}\\\\`\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{m(a+h - a) + p-p}{h}\\\\`\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{mh}{h}\\\\`\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=m\\
D'où :
\lim\limits_{h \to 0} \tau_{f,a,a+h} = m
f est donc dérivable en a et on a :
f'(a) = m
Soit f une fonction affine définie sur \mathbb{R} de la forme f(x) = mx + p, où m et p sont des réels.
Quelle est la formule de dérivation de la fonction affine ?
On a trouvé que \forall a \in \mathbb{R}, f'(a) = m.
f est donc dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = m