Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3x+10.
Quelles sont les variations de la fonction f ?
f est une fonction polynôme de degré 2 donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Afin de trouver ses variations, on étudie le signe de sa fonction dérivée f'.
Pour tout réel x, on a :
f'(x)=\dfrac{1}{2} \times 2x -3
f'(x)=x -3
On étudie le signe de f'(x) :
f'(x)\geqslant0\Leftrightarrow x-3\geqslant0
f'(x)\geqslant0\Leftrightarrow x\geqslant3
On en déduit que :
- f' est positive sur [3; +\infty[ ;
- f' est négative sur ] -\infty ; 3].
Or, on sait que pour une fonction f dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R} :
- si f′(x)≥0 sur I, alors la fonction f est croissante sur I ;
- et si f′(x)\leqslant0 sur I, alors la fonction f est décroissante sur I.
f est décroissante sur ]-\infty ; 3] puis croissante sur [3 ; +\infty[.
Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=x^3+2x+1.
Quelles sont les variations de la fonction g ?
g est une fonction polynôme de degré 3 donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Afin de trouver ses variations, on étudie le signe de sa fonction dérivée g'.
Pour tout réel x, on a :
g'(x)=3x^2+2
On étudie le signe de g'(x) :
g'(x)\geqslant0\Leftrightarrow3x^2+2\geqslant0
Or, pour tout nombre réel x, on sait que x^2\geqslant0.
On en déduit que 3x^2+2\geqslant0, pour tout réel x.
Ainsi g' est positive sur \mathbb{R}.
Or, on sait que pour une fonction f dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}, si f′(x)≥0 sur I, alors la fonction f est croissante sur I.
g est croissante sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-2x^2-2x+5.
Quelles sont les variations de la fonction f ?
f est une fonction polynôme de degré 2 donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Afin de trouver ses variations, on étudie le signe de sa fonction dérivée f'.
Pour tout réel x, on a :
f'(x)=-2 \times 2x -2
f'(x)=-4x-2
On étudie le signe de f'(x) :
f'(x)\geqslant0\Leftrightarrow -4x-2\geqslant0
f'(x)\geqslant0\Leftrightarrow -4x\geqslant2
f'(x)\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{2}{-4}
f'(x)\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant-2
On en déduit que :
- f' est positive sur ]-\infty ; -2] ;
- f' est négative sur [-2 ; +\infty[.
Or, on sait que pour une fonction f dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R} :
- si f′(x)≥0 sur I, alors la fonction f est croissante sur I ;
- et si f′(x)\leqslant0 sur I, alors la fonction f est décroissante sur I.
f est croissante sur ]-\infty ; -2] et décroissante sur [-2 ; +\infty[.
Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=2x^{3}+3x^2-1.
Quelles sont les variations de la fonction g ?
g est une fonction polynôme de degré 3 donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Afin de trouver ses variations, on étudie le signe de sa fonction dérivée g'.
- Pour tout réel x, on a :
g'(x)=2\times3x^2 +3\times 2x=6x^2+6x
- On étudie le signe de g'(x) :
g'(x)\geqslant0\Leftrightarrow 6x^2+6x\geqslant0
Pour connaître le signe de l'expression 6x^2+6x, on la factorise :
6x^2+6x=6x(x+1)
- On trace ensuite un tableau de signes pour g'(x) en étudiant le signe des deux fonctions affines x\longmapsto 6x et x\longmapsto x+1 :
6x\geqslant0\Leftrightarrow x\geqslant0
et x+1\geqslant0 \Leftrightarrow x \geqslant -1
D'où le tableau de signes :
On en déduit que :
- g' est négative sur [-1 ;0 ] ;
- g' est positive sur ] -\infty ; -1] et sur [0 ; +\infty[.
Or, on sait que pour une fonction f dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R} :
- si f′(x)≥0 sur I, alors la fonction f est croissante sur I ;
- et si f′(x)\leqslant0 sur I, alors la fonction f est décroissante sur I.
g est croissante sur ] -\infty ; -1] ; décroissante sur [-1 ;0 ] ; et croissante sur [0 ; +\infty[.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\dfrac{4}{3}x^3-2x^2+x+1.
Quelles sont les variations de la fonction f ?
f est une fonction polynôme de degré 3 donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Afin de trouver ses variations, on étudie le signe de sa fonction dérivée f'.
Pour tout réel x, on a :
f'(x)=\dfrac{4}{3} \times 3x^2 -2\times 2x+1
f'(x)=4x^2-4x+1
On étudie le signe de f'(x) :
f'(x)\geqslant0\Leftrightarrow4 x^2-4x+1\geqslant0
Pour connaître le signe de l'expression 4 x^2-4x+1, on la factorise.
On remarque qu'elle est de la forme développée de l'identité remarquable a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.
Ainsi, 4 x^2-4x+1=(2x)^2-2\times (2x)+1=(2x-1)^2.
On en déduit que :
f'(x)\geqslant0\Leftrightarrow(2x-1)^2\geqslant0
Or un nombre élevé au carré est toujours supérieur ou égal à 0.
Ainsi on a toujours :
f'(x)\geqslant0
Or, on sait que pour une fonction f dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R} :
Si f′(x)≥0 sur I, alors la fonction f est croissante sur I.
f est croissante sur \mathbb{R}.