Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2-5x+12.
Quelle est l'expression de sa fonction dérivée ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} car c'est un polynôme de degré 2.
C'est la somme de la fonction x\longmapsto x^2, de la fonction x\longmapsto -5x et de la fonction constante x\longmapsto12.
f' est donc la somme des dérivées de ces trois fonctions.
Or, on sait que :
- la dérivée de la fonction carré x\longmapsto x^2 est x\longmapsto 2x ;
- la dérivée de la fonction identité x\longmapsto x est x\longmapsto 1 ;
- la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle.
On sait de plus que si g est une fonction dérivable et k est un nombre réel, alors la dérivée de la fonction kg est kg'.
Ainsi, pour tout réel x :
f'(x)=2x-5\times1+0
f'(x)=2x-5
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=3x^2+8x-3.
Quelle est l'expression de sa fonction dérivée ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} car c'est un polynôme de degré 2.
C'est la somme de la fonction x\longmapsto 3x^2, de la fonction x\longmapsto 8x et de la fonction constante x\longmapsto-3.
f' est donc la somme des dérivées de ces trois fonctions.
Or, on sait que :
- la dérivée de la fonction carré x\longmapsto x^2 est x\longmapsto 2x ;
- la dérivée de la fonction identité x\longmapsto x est x\longmapsto 1 ;
- la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle.
On sait de plus que si g est une fonction dérivable et k est un nombre réel, alors la dérivée de la fonction kg est kg'.
Ainsi, pour tout réel x :
f'(x)=6x+8
On peut factoriser l'expression de f en plaçant 2 en facteur.
Ainsi, pour tout réel x :
f'(x)=2(3x+4)
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+1.
Quelle est l'expression de sa fonction dérivée ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} car c'est un polynôme de degré 3.
C'est la somme de la fonction x\longmapsto x^3, de la fonction x\longmapsto -5x^2, de la fonction x\longmapsto 2x et de la fonction constante x\longmapsto1.
f' est donc la somme des dérivées de ces trois fonctions.
Or, on sait que :
- la dérivée de la fonction cube x\longmapsto x^{3} est la fonction x\longmapsto 3x^2 ;
- la dérivée de la fonction carré x\longmapsto x^2 est x\longmapsto 2x ;
- la dérivée de la fonction identité x\longmapsto x est x\longmapsto 1 ;
- la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle.
On sait de plus que si g est une fonction dérivable et k est un nombre réel, alors la dérivée de la fonction kg est la fonction kg'.
Ainsi, pour tout réel x :
f'(x)=3x^{2}-5\times2x+2\times 1+0
f'(x)=3x^{2}-10x+2
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{1}{4}x^{2}-3x+10.
Quelle est l'expression de sa fonction dérivée ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} car c'est un polynôme de degré 3.
C'est la somme de la fonction x\longmapsto \dfrac{2}{3}x^{3}, de la fonction x\longmapsto \dfrac{1}{4}x^2, de la fonction x\longmapsto -3x et de la fonction constante x\longmapsto10.
f' est donc la somme des dérivées de ces quatre fonctions.
Or, on sait que :
- la dérivée de la fonction cube x\longmapsto x^{3} est la fonction x\longmapsto 3x^2 ;
- la dérivée de la fonction carré x\longmapsto x^2 est x\longmapsto 2x ;
- la dérivée de la fonction identité x\longmapsto x est x\longmapsto 1 ;
- la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle.
On sait de plus que si g est une fonction dérivable et k est un nombre réel, alors la dérivée de la fonction kg est la fonction kg'.
Ainsi, pour tout réel x :
f'(x)=\dfrac{2}{3} \times 3x^{2}+\dfrac{1}{4} \times 2x-3\times1+0
f'(x)=2x^{2}+\dfrac{1}{2}x-3
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-\dfrac{1}{4}x^{3}-\dfrac{5}{2}x-5.
Quelle est l'expression de sa fonction dérivée ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} car c'est un polynôme de degré 3.
C'est la somme de la fonction x\longmapsto -\dfrac{1}{4}x^3, de la fonction x\longmapsto -\dfrac{5}{2}x et de la fonction constante x\longmapsto-5.
f' est donc la somme des dérivées de ces trois fonctions.
Or, on sait que :
- la dérivée de la fonction cube x\longmapsto x^{3} est la fonction x\longmapsto 3x^2 ;
- la dérivée de la fonction identité x\longmapsto x est x\longmapsto 1 ;
- la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle.
On sait de plus que si g est une fonction dérivable et k est un nombre réel, alors la dérivée de la fonction kg est la fonction kg'.
Ainsi, pour tout réel x :
f'(x)=-\dfrac{1}{4} \times 3x^2-\dfrac{5}{2}\times1+0
f'(x)=-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{5}{2}