Le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès permet d'obtenir l'égalité entre trois rapports de longueurs. Ainsi, on peut l'utiliser afin de déterminer des longueurs ou bien montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
L'énoncé du théorème de Thalès
Soient trois points A, M et B alignés dans cet ordre, et trois points A, N et C alignés dans cet ordre ; si (MN) // (BC), alors \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}.
Théorème de Thalès
Soient [AB) et [AC) deux demi-droites de même sommet A, et M et N deux points appartenant respectivement à [AB) et [AC).
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors : \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
On considère [AB) et [AC) qui sont deux demi-droites de même sommet A, et M et N qui sont deux points appartenant respectivement à [AB) et [AC), tels que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Puisque les droites (MN) et (BC) sont parallèles, on a, d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
Avec les notations du théorème, deux cas peuvent se présenter :
- le triangle AMN est à l'intérieur du triangle ABC ;
- le triangle ABC est à l'intérieur du triangle AMN.
Cela ne change pas la conclusion du théorème.
L'utilisation du théorème de Thalès pour calculer des longueurs
On peut utiliser le théorème de Thalès pour calculer des longueurs.
Le théorème de Thalès est utilisé pour calculer des longueurs.
Il permet d'obtenir l'égalité entre trois rapports. Pour calculer des longueurs, il suffit d'utiliser deux de ces rapports et de connaître trois des quatre longueurs.
On considère [AB) et [AC) qui sont deux demi-droites de même sommet A, et M et N qui sont deux points appartenant respectivement à [AB) et [AC) tels que :
- les droites (MN) et (BC) sont parallèles ;
- AM=3, AB=5 et AN=4.
Puisque les droites (MN) et (BC) sont parallèles, on a, d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
En particulier :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}
On en déduit :
\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{AC}
Puis on en déduit :
AC=\dfrac{4\times 5}{3}
AC=\dfrac{20}{3}
AC\approx 6{,}67
Pour ne pas se tromper dans l'écriture des rapports, on peut écrire l'un au-dessous de l'autre les noms des deux triangles apparaissant dans la configuration de la façon suivante :
- On commence par le sommet commun.
- Pour les autres sommets, on écrit l'un au-dessous de l'autre les points qui sont alignés avec le sommet commun.
On considère [AB) et [AC) qui sont deux demi-droites de même sommet A, et M et N qui sont deux points appartenant respectivement à [AB) et [AC), tels que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Les deux triangles créés par la configuration se nomment AMN et BAC.
En suivant les étapes de l'écriture des noms pour éviter les erreurs, on écrit :
L'utilisation du théorème de Thalès pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles
On peut utiliser le théorème de Thalès pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
Le théorème de Thalès peut servir à montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
On considère [AB) et [AC) qui sont deux demi-droites de même sommet, et M et N qui sont deux points appartenant respectivement à [AB) et [AC) tels que :
- AM=3
- AB=5
- AN=4{,}5
- AC=6
La figure représentée sur le schéma suivant ne respecte volontairement pas les vraies dimensions.
Elle laisse penser que les droites (MN) et (BC) pourraient être parallèles.
On calcule les rapports suivants :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{18}{30}
\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4{,}5}{6}=\dfrac{22{,}5}{30}
Ainsi :
\dfrac{AM}{AB}\neq \dfrac{AN}{AC}
Si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles, on aurait, d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}
Comme ce n'est pas le cas, les droites (MN) et (BC) ne sont donc pas parallèles.
La réciproque du théorème de Thalès
Soient trois points A, M et B alignés dans cet ordre, et trois points A, N et C alignés dans cet ordre. Si \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} , alors (MN) // (BC).
Réciproque du théorème de Thalès
Soient [AB) et [AC) deux demi-droites de même sommet A et soient M et N deux points appartenant respectivement à [AB) et [AC).
Si \dfrac{AM}{AB} et \dfrac{AN}{AC} sont égaux, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
On considère [AB) et [AC) qui sont deux demi-droites de même sommet, et M et N qui sont deux points appartenant respectivement à [AB) et [AC) tels que :
- AM=3
- AB=5
- AN=4{,}5
- AC=6{,}75
On calcule les rapports suivants :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{5}=0{,}6
\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4{,}5}{6{,}75}=0{,}6
Ainsi :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont donc parallèles.