Dans la figure suivante, E \in[AC],\,D \in[AB]\,\text{et}\,(ED)//(BC).
Quelle est la valeur de la longueur AE ?
On sait que :
- Les demi-droites [AC) et [AB) ont la même origine, A.
- E\in[AC) et D\in[AB).
De plus, les droites (ED) et (BC) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a alors :
\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}
On en déduit :
\dfrac{3}{5}=\dfrac{AE}{2{,}5}=\dfrac{EB}{DC}
En particulier :
\dfrac{3}{5}=\dfrac{AE}{2{,}5}
Puis, avec un produit en croix, on trouve :
AE=\dfrac{3\times2{,}5}{5}
AE=1{,}5\text{ cm}
Dans la figure suivante, H \in[IE],\,F \in[EG]. Le triangle IEG est rectangle en G, le triangle HEF est rectangle en F.
Quelle est la valeur de la longueur HF ?
On sait que :
- Les demi-droites [EI) et [EG) ont la même origine, E.
- H\in[EI) et F\in[EG).
De plus, les droites (HF) et (IG) sont perpendiculaires à la droite (EG). Donc elles sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a alors :
\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{EH}{EI}=\dfrac{HF}{IG}
On en déduit :
\dfrac{7}{21}=\dfrac{EH}{EI}=\dfrac{HF}{10}
En particulier :
\dfrac{7}{21}=\dfrac{HF}{10}
Puis, avec un produit en croix, on trouve :
HF=\dfrac{7\times10}{21}=\dfrac{7\times10}{7\times3}
HF=\dfrac{10}{3}\text{ cm}
Dans la figure suivante, D \in[AB],\,E \in[AC]\,\text{et}\,(ED)//(CB).
Quelle est la valeur de la longueur AE ?
On sait que :
- Les demi-droites [AC) et [AB) ont la même origine, A.
- E\in[AC) et D\in[AB).
De plus, les droites (AE) et (CB) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a alors :
\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{ED}{CB}
On en déduit :
\dfrac{2}{AB}=\dfrac{AE}{9}=\dfrac{ED}{CB}
Par ailleurs, on calcule la longueur AB :
AB=AD+DB=2+4=6\text{ cm}
On obtient alors :
\dfrac{2}{6}=\dfrac{AE}{9}=\dfrac{ED}{CB}
En particulier :
\dfrac{2}{6}=\dfrac{AE}{9}
Puis, avec un produit en croix, on trouve :
AE=\dfrac{9\times2}{6}=\dfrac{18}{6}
AE=3\text{ cm}
Dans la figure suivante, M \in[LJ],\,O \in[LP]\,N \in[LK]\text{et}\,(MN)//(KJ).
Quelle est la valeur de la longueur OM ?
Dans la figure, on repère la longueur cherchée OM et une configuration de Thalès dans laquelle se trouve le segment \left[ OM \right].
On sait que :
- Les demi-droites [LP) et [LJ) ont la même origine, L.
- O\in[LP) et M\in[LJ).
De plus, les droites (MO) et (JP) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a alors :
\dfrac{LM}{LJ}=\dfrac{LO}{LP}=\dfrac{OM}{PJ}
En particulier :
\dfrac{12}{15}=\dfrac{LO}{LP}=\dfrac{OM}{PJ}
Par ailleurs, on calcule la longueur PJ :
PJ=KJ\div2=18\div2=9\text{ cm}
On obtient alors :
\dfrac{12}{15}=\dfrac{LO}{LP}=\dfrac{OM}{9}
En particulier :
\dfrac{12}{15}=\dfrac{OM}{9}
Puis, avec un produit en croix, on trouve :
OM=\dfrac{9\times12}{15}=\dfrac{36}{5}
OM=7{,}2\text{ cm}
Dans la figure suivante, I \in[MA],\,U \in[MO]\,\text{et}\,(UI)//(AO).
Quelle est la valeur de la longueur IU ?
On sait que :
- Les demi-droites [MA) et [MO) ont la même origine, M.
- U\in[MO) et I\in[MA).
De plus, les droites (IU) et (AO) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a alors :
\dfrac{MU}{MO}=\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{IU}{AO}
On en déduit :
\dfrac{2{,}6}{MO}=\dfrac{1{,}3}{MA}=\dfrac{IU}{9}
Par ailleurs, on calcule les longueurs MO et MA :
- MO=2{,}6+9{,}4=12\text{ cm}
- MA=1{,}3+4{,}7=6\text{ cm}
On obtient alors :
\dfrac{2{,}6}{12}=\dfrac{1{,}3}{6}=\dfrac{IU}{9}
En particulier :
\dfrac{2{,}6}{12}=\dfrac{IU}{9}
Puis, avec un produit en croix, on obtient :
IU=\dfrac{2{,}6\times9}{12}=\frac{23{,}4}{12}
IU=1{,}95\text{ cm}