On considère la situation représentée sur le schéma proposé.
Quelle est la hauteur de la tour Eiffel ?
On cherche à déterminer la longueur BC.
On prouve d'abord que les droites (NM) et (BC) sont parallèles.
Les droites (MN) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AC).
Elles sont donc parallèles.
Ensuite, on calcule la longueur AC :
AC=1+217=218 \text{ m}
Enfin, on utilise le théorème de Thalès pour calculer la longueur BC.
Ici, on considère :
- les deux demi-droites [AC) et [AB) de même sommet A ;
- le point N appartenant à la demi-droite [AC) ;
- le point M appartenant à la demi-droite [AB).
Puisque les droites (MN) et (BC) sont parallèles, on a, d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
En particulier :
\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
On en déduit :
\dfrac{1}{218}=\dfrac{1{,}5}{BC}
Puis on en déduit :
BC=\dfrac{218\times1{,}5}{1}=327 \text{ m}
La hauteur de la tour Eiffel est de 327 m.
On considère la figure proposée.
Quelles égalités de quotients le théorème de Thalès permet-il d'écrire ?
On raisonne ici dans les triangles SBD et SCE.
On considère :
- les deux demi-droites [SE) et [SC) de même sommet S ;
- le point D appartenant à la demi-droite [SE) ;
- le point B appartenant à la demi-droite [SC).
Puisque les droites (DB) et (EC) sont parallèles, on a, d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{SD}{SE}=\dfrac{SB}{SC}=\dfrac{DB}{EC}
Le théorème de Thalès permet d'écrire les égalités suivantes : \dfrac{SD}{SE}=\dfrac{SB}{SC}=\dfrac{DB}{EC}.
Un horticulteur souhaite calculer la hauteur de l'arbre représenté sur le schéma proposé.
Il plante un bâton représenté par le segment [CB]. Ce bâton mesure 2,4 m.
L'ombre [AB] de ce bâton mesure 3 m.
L'ombre [AD] de l'arbre mesure 105 m.
Quelle est la hauteur de l'arbre ?
On cherche à déterminer la longueur DH.
On prouve d'abord que les droites (BC) et (DH) sont parallèles.
Les droites (BC) et (DH) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AD).
Elles sont donc parallèles.
Ensuite, on utilise le théorème de Thalès pour calculer la longueur DH.
Ici, on considère :
- les deux demi-droites [AD) et [AH) de même sommet A ;
- le point B appartenant à la demi-droite [AD) ;
- le point C appartenant à la demi-droite [AH).
Puisque les droites (BC) et (DH) sont parallèles, on a, d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{BC}{DH}
En particulier :
\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DH}
On en déduit :
\dfrac{3}{105}=\dfrac{2{,}4}{DH}
Puis on en déduit :
DH=\dfrac{2{,}4\times105}{3}=84\text{ m}
La hauteur de l'arbre est de 84 m.
Une station de ski se situe à 1 150 m d'altitude au point S.
On dispose des informations données sur le schéma proposé.
À quelle altitude le restaurant R se situe-t-il ?
On cherche à déterminer la longueur BR.
On prouve d'abord que les droites (AP) et (BR) sont parallèles.
Les droites (AP) et (BR) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AB).
Elles sont donc parallèles.
Puis on calcule la longueur SP :
SP=SR+RP=1\ 350+450=1\ 800
Enfin, on va utiliser le théorème de Thalès pour calculer la longueur BR.
Ici, on considère :
- les deux demi-droites [SA) et [SP) de même sommet S ;
- le point B appartenant à la demi-droite [SA) ;
- le point R appartenant à la demi-droite [SP).
Puisque les droites (AP) et (BR) sont parallèles, on a, d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{SB}{SA}=\dfrac{SR}{SP}=\dfrac{BR}{PA}
En particulier :
\dfrac{SR}{SP}=\dfrac{BR}{PA}
On en déduit :
\dfrac{1\ 350}{1\ 800}=\dfrac{BR}{1\ 200}
Puis on en déduit :
BR=\dfrac{1\ 350\times1\ 200}{1\ 800}=900 \text{ m}
Et finalement, on obtient l'altitude du restaurant ainsi :
1\ 150 + 900 = 2\ 050 \text{ m}
L'altitude du restaurant est de 2 050 m.