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Dernière modification : 28/08/2025 - Conforme au programme 2025-2026
L'écriture des nombres entiers
On utilise dix chiffres pour écrire un nombre entier : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
2 431 est un nombre entier composé des chiffres 2, 4, 3 et 1.
On ne doit pas confondre chiffre et nombre.
- 9 est un chiffre.
- 146 est un nombre composé de trois chiffres 1, 4 et 6.
Pour identifier chaque chiffre d'un nombre entier, on peut le placer dans un tableau de numération faisant apparaître le nom de chaque chiffre :
- U signifie « unité » ;
- D signifie « dizaine » ;
- C signifie « centaine ».
On peut placer le nombre 70 918 946 235,dans un tableau de numération.
On le lit : soixante-dix milliards neuf-cent dix-huit millions neuf-cent quarante-six mille deux-cent trente cinq.
On obtient :
Si l'on change l'ordre des chiffres d'un nombre, on obtient un nombre différent.
Si on change l'ordre des chiffres du nombre 46 235, on obtient un nombre différent, comme par exemple 62 354.
Grâce à un tableau de numération, on retrouve le lien entre les différentes catégories. Il suffit pour cela de placer un 1 dans la colonne de la catégorie la plus grande et de compléter par des 0 jusqu'à la catégorie la plus faible.
En particulier :
- il faut 1 000 millions pour obtenir 1 milliard ;
- il faut 1 000 milliers pour obtenir 1 million ;
- il faut 1 000 unités pour obtenir 1 millier.
Dans 1 milliard, il y a 1 000 000 milliers.
On le lit : un million de milliers.
Pour écrire un grand nombre entier et faciliter sa lecture, on sépare les chiffres écrits par groupes de trois à partir du chiffre des unités.
Le nombre 1234567890 est plus facilement lisible sous la forme 1 234 567 890.
Comparer des grands nombres entiers
Pour comparer de grands nombres entiers, on peut les placer dans un tableau de numération.
On cherche à comparer les nombres 12 560 000 000 (douze milliards cinq-cent soixante millions) 956 123 457 (neuf-cent cinquante-six millions cent vingt-trois mille quatre-cent cinquante-sept). On les place dans un tableau de numération :
Le nombre 12 560 000 000 a son premier chiffre dans la colonne des dizaines de milliards, alors que le nombre 956 123 457 a son premier chiffre dans la colonne des centaines de millions.
On a donc :
12\, 560\, 000\, 000 > 956\, 123\, 457
La division euclidienne d'un nombre entier par un nombre entier inférieur à 100
Division euclidienne
Effectuer une division euclidienne d'un nombre entier a appelé « dividende » par un nombre entier b, différent de 0, appelé « diviseur », c'est trouver deux nombres entiers q et r, appelés « quotient » et « reste », vérifiant :
- a=b \times q +r
- r \lt b
Jean possède un paquet de 150 bonbons et a organisé une fête pour son anniversaire. Ils seront 13 au total pour la fête. Il se demande combien chacun aura de bonbons et combien il en restera en plus, sachant que chaque enfant doit avoir le même nombre de bonbons.
Pour trouver le résultat, il faut effectuer la division euclidienne de 150 par 13. On obtient :
On a donc :
150 = 11 \times 13 + 7
Chacun aura 11 bonbons, et il en restera 7 à l'issue du partage.
Multiple d'un nombre entier
Un nombre entier a est dit multiple d'un nombre entier b si la division de a par b donne un reste nul.
150 est un multiple de 30 car 150=5 \times 30 + \textcolor{Red}{0} .
Diviseur d'un nombre entier
Un nombre entier b est dit multiple d'un nombre entier a si la division de a par b donne un reste nul.
440 est un multiple de 22 car 440=22 \times 20 + \textcolor{Red}{0} .
Dans un problème, la division peut avoir deux sens :
- La division partition, pour calculer la valeur d'une part.
- La division quotition, pour calculer le nombre de parts égales.
Dans une classe de 30 élèves, le professeur d'EPS souhaite faire 6 groupes de même effectif. On cherche à déterminer le nombre d'élèves dans chaque groupe.
On effectue la division euclidienne de 30 par 6. Il s'agit d'une division partition. Il y aura 5 élèves par groupe.
Dans une classe de 24 élèves, le professeur d'EPS souhaite faire des groupes de 6 élèves. On cherche à déterminer le nombre de groupes.
On effectue la division euclidienne de 24 par 6. Il s'agit d'une division quotition. Il y aura 4 groupes.