Les nombres premiers
Les nombres premiers sont les nombres supérieurs ou égaux à 2 qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100.
Définition d'un nombre premier
Un nombre premier est un nombre supérieurs ou égal à 2 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Nombre premier
Soit un entier naturel a supérieur ou égal à 2.
On dit que a est un nombre premier si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même.
- Le nombre 13 est un nombre premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 13, soit 1 et lui-même.
- Le nombre 30 n'est pas un nombre premier car ses diviseurs sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.
Les nombres 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
- 0 admet tous les entiers non nuls comme diviseurs.
- 1 admet 1 et lui-même comme diviseurs, cela ne représente qu'un seul diviseur.
La liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à 100
La liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 peut s'obtenir avec une méthode mécanique, appelée « crible d'Eratosthène ». Il y a 25 nombres premiers inférieurs ou égaux à 100.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On peut déterminer la liste des nombres premiers en appliquant le procédé suivant :
- on range les nombres dans l'ordre croissant ;
- on raye les nombres de cette liste qui sont divisibles par 2 ;
- on passe au premier nombre non rayé strictement supérieur à 2 et on raye tous les nombres non déjà rayés qui sont divisibles par ce nombre ;
- on poursuit le procédé en passant au nombre non rayé suivant jusqu'à atteindre la fin de la liste.
Le procédé utilisé s'appelle « le crible d'Ératosthène ».
Le procédé appliqué à une liste des nombres entiers compris entre 2 et 100 donne :
La liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 est donc :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.
La décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers
On peut toujours décomposer un entier en un produit de facteurs premiers. Il n'y a qu'une seule façon d'écrire un entier naturel comme le produit de nombres premiers.
Tout entier naturel peut s'écrire comme le produit de nombres premiers.
À l'ordre des facteurs près, il n'y a qu'une façon d'écrire un entier naturel comme le produit de nombres premiers.
Le nombre 30 peut s'écrire 2\times 3\times 5.
Comme 2, 3 et 5 sont des nombres premiers, on a écrit 30 comme un produit de nombres premiers.
Décomposition en produit de facteurs premiers
L'écriture d'un entier naturel a comme le produit de nombres premiers s'appelle « la décomposition en produit de facteurs premiers » de l'entier a.
2\times 3\times 5\times 7 est la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 210.
On écrit en général la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers dans l'ordre croissant des nombres premiers qui la composent.
2\times 7\times 5\times 3 est une décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 210, mais on l'écrit généralement sous la forme « 2\times 3\times 5\times 7 ».
Les fractions égales
Il existe plusieurs écritures fractionnaires d'un même nombre, notamment dans le cas d'une fraction. On peut simplifier une fraction après avoir décomposé son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers. Deux fractions sont égales si après simplification maximale on obtient la même fraction.
La simplification d'une fraction
On dit que l'on simplifie une fraction si on la remplace par une fraction égale qui possède un numérateur strictement inférieur.
Simplifier une fraction
Soit \dfrac{a}{b} une fraction avec b\gt0.
Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale avec un dénominateur plus petit.
Pour cela, on tente donc de diviser le numérateur et le dénominateur de la première fraction par un même nombre entier non nul.
On peut simplifier la fraction \dfrac{20}{30} en la remplaçant par la fraction \dfrac{2}{3} qui lui est égale.
En effet, \dfrac{20}{30}=\dfrac{20\div 10}{30\div 10} donc \dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}.
Diviser le numérateur et le dénominateur de la première fraction par un même nombre entier non nul revient à utiliser la propriété suivante :
Soient trois nombres a, b et c avec b\neq0 et c\neq0, alors \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div c}{b\div c}.
La décomposition d'une fraction en produit de facteurs premiers
Décomposer une fraction en produit de facteurs premiers revient à décomposer le numérateur et le dénominateur de la fraction en produits de facteurs premiers. Cela permet d'obtenir une fraction simplifiée au maximum de la fraction d'origine.
Décomposer en produit de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur d'une fraction permet d'obtenir directement une fraction simplifiée au maximum.
On simplifie par la partie commune des deux décompositions.
Les décompositions en produit de facteurs premiers des nombres 32 et 60 sont :
32=2\times 2\times 2\times 2\times 2
60=2\times 2\times 3\times 5
Les deux décompositions ont en commun 2\times 2.
On peut donc simplifier la fraction \dfrac{60}{32} par 2\times 2, c'est-à-dire par 4.
On obtient :
\dfrac{60}{32}=\dfrac{\textcolor{Blue}{2\times 2}\times 3\times 5}{\textcolor{Blue}{2\times 2}\times 2\times 2\times 2}
On simplifie par 2\times 2 :
\dfrac{60}{32}=\dfrac{3\times 5}{2\times 2\times 2}
\dfrac{60}{32}=\dfrac{15}{8}
On ne peut pas simplifier davantage la fraction \dfrac{60}{32}.
Deux fractions sont égales si après simplification maximale on obtient la même fraction.
On sait qu'en décomposant 60 et 32 en produit de facteurs premiers, on obtient :
\dfrac{60}{32}=\dfrac{2\times 2\times 3\times 5}{2\times 2\times 2\times 2\times 2}
On peut simplifier au maximum par 2\times 2.
La fraction simplifiée au maximum égale à \dfrac{60}{32} est \dfrac{15}{8}.
En faisant de même avec la fraction \dfrac{900}{480}, on obtient :
\dfrac{900}{480}=\dfrac{2\times 2\times 3\times 3\times 5\times 5}{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 5}
On peut simplifier au maximum par 2\times 2\times 3\times 5.
\dfrac{900}{480}=\dfrac{\textcolor{Blue}{2\times 2\times 3\times 5}\times 3\times 5}{\textcolor{Blue}{2\times 2\times 3\times 5}\times 2\times 2\times 2}
\dfrac{900}{480}=\dfrac{3\times5}{2\times2\times2}
On obtient :
\dfrac{900}{480}=\dfrac{15}{8}, c'est-à-dire la même fraction simplifiée au maximum que celle égale à \dfrac{60}{32}.
Ainsi :
\dfrac{900}{480}=\dfrac{60}{32}
Après avoir simplifié au maximum une fraction \dfrac{a}{b}, on peut multiplier à nouveau le numérateur et le dénominateur de cette fraction par un entier non nul et obtenir des fractions égales à la fraction \dfrac{a}{b}.
On a vu qu'après simplification maximale, la fraction égale à \dfrac{60}{32} est \dfrac{15}{8}.
En multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 13, par exemple, on obtient :
\dfrac{15\times 13}{8\times 13}=\dfrac{195}{104}
Ainsi :
\dfrac{60}{32}=\dfrac{195}{104}