Un pâtissier veut faire des tartes. Il dispose de 360 framboises et de 252 fraises. Il veut répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartes. Toutes les tartes doivent être identiques.
Combien de tartes ce pâtissier fera-t-il ?
On appelle n le nombre maximum de tartes que fera le pâtissier.
Le nombre n est un diviseur commun à 360 et 252. Et il doit être le plus grand possible.
Par conséquent, le nombre n est le plus grand diviseur commun à 360 et 252.
Or, on sait que le plus grand diviseur commun à deux entiers a et b a pour décomposition en facteurs premiers le produit des facteurs premiers communs aux décompositions des nombres a et b avec la plus grande puissance commune aux deux décompositions.
Ici :
- Une décomposition en produit de facteurs premiers de 360 est : 2^3\times3^2\times5.
- Une décomposition en produit de facteurs premiers de 252 est : 2^2\times3^2\times7.
Les facteurs premiers communs aux deux décompositions sont 2 et 3.
Le facteur 2 apparaît trois fois dans la décomposition de 360 et deux fois dans la décomposition de 252.
Le facteur 3 apparaît deux fois dans la décomposition de 360 et deux fois dans la décomposition de 252.
On en déduit que le plus grand diviseur commun à 360 et 252 est égal à :
2^2\times3^2=4\times9=36
On en conclut que le plus grand diviseur commun à 360 et 252 est 36.
Le pâtissier fera 36 tartes.
Combien y aura-t-il de framboises dans chaque tarte ?
Le pâtissier dispose de 360 framboises.
Il doit les répartir de manière équitable dans les 36 tartes.
Par conséquent, le nombre de framboises dans chaque tarte est égal à :
\dfrac{360}{36}=10
Il y aura 10 framboises dans chaque tarte.
Combien y aura-t-il de fraises dans chaque tarte ?
Le pâtissier dispose de 252 fraises.
Il doit les répartir de manière équitable dans les 36 tartes.
Par conséquent, le nombre de fraises dans chaque tarte est égal à :
\dfrac{252}{36}=7
Il y aura 7 fraises dans chaque tarte.
Dans une salle de bains, on veut recouvrir le sol avec des carreaux de faïence de forme carrée, tous identiques.
Le sol est un rectangle de largeur 270 cm et de longueur 420 cm.
On souhaite que :
- le nombre de carreaux soit entier (on ne découpe pas les carreaux) ;
- le côté d'un carreau mesure un nombre entier de centimètres.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à des carreaux qui conviennent ?
On appelle n la longueur du côté d'un carreau qui convient (nombre entier positif).
Le nombre n est un diviseur commun à 270 et 420.
- Le nombre 60 est un diviseur de 420, mais n'est pas un diviseur de 270 ; ce n'est donc pas un diviseur commun à 270 et 420.
- Le nombre 50 n'est ni un diviseur de 270 ni un diviseur de 420 ; ce n'est donc pas un diviseur commun à 270 et 420.
- Le nombre 15 est un diviseur de 270 et c'est aussi un diviseur de 420 ; c'est donc un diviseur commun à 270 et 420.
Par ailleurs, on peut remarquer que le nombre 7,5 cm ne convient pas car ce n'est pas un nombre entier.
Par conséquent :
Ce sont les carreaux de 15 cm de côté qui conviennent.
On souhaite de plus que le côté d'un carreau soit le plus grand possible.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond aux carreaux qu'il faut choisir ?
On appelle toujours n la longueur du côté d'un carreau qui convient (nombre entier positif).
Le nombre n est un diviseur commun à 270 et 420. On souhaite de plus qu'il soit le plus grand possible.
Par conséquent, le nombre n est le plus grand diviseur commun à 270 et 420.
Or, on sait que le plus grand diviseur commun à deux entiers a et b a pour décomposition en facteurs premiers le produit des facteurs premiers communs aux décompositions des nombres a et b avec la plus grande puissance commune aux deux décompositions.
Ici :
- Une décomposition en produit de facteurs premiers de 270 est : 2\times3^3\times5.
- Une décomposition en produit de facteurs premiers de 420 est : 2^2\times3\times5\times7.
Les facteurs premiers communs aux deux décompositions sont 2, 3 et 5.
Le facteur 2 apparaît une fois dans la décomposition de 270 et deux fois dans la décomposition de 420.
Le facteur 3 apparaît trois fois dans la décomposition de 270 et une fois dans la décomposition de 420.
Le facteur 5 apparaît une fois dans la décomposition de 270 et une fois dans la décomposition de 420.
On en déduit que le plus grand diviseur commun à 270 et 420 est égal à :
2\times3\times5=30
On en conclut que le plus grand diviseur commun à 270 et 420 est 30.
Par conséquent :
Ce sont les carreaux de 30 cm de côté qu'il faut choisir.
Combien de carreaux faudra-t-il utiliser ?
Le sol est un rectangle de largeur 270 cm et de longueur 420 cm.
Les carreaux sont des carrés de 30 cm de côté.
En largeur, on pourra donc mettre \dfrac{270}{30}=9 carreaux.
Et en longueur, on pourra mettre \dfrac{420}{30}=14 carreaux.
Par conséquent, cela donne au total : 9 \times 14 = 126 carreaux.
Il faudra utiliser 126 carreaux.