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Dernière modification : 31/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027

Définition et propriétés caractéristiques du parallélogramme

Définition

Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

On considère un quadrilatère ABCD qui a ses côtés opposés parallèles : \left(AB\right)//\left(CD\right) et \left(AD\right)//\left(BC\right).

D'après la définition, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

On considère un parallélogramme RSTU.

D'après la définition, les côtés opposés de ce quadrilatère sont parallèles deux à deux : \left(RS\right)//\left(TU\right) et \left(ST\right)//\left(UR\right).

Propriétés caractéristiques du parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère non croisé qui a ses côtés opposés de même longueur deux à deux. Autrement dit :

Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c'est un parallélogramme.
Réciproquement, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux.

On considère le quadrilatère JKLM suivant :

Les côtés opposés de ce quadrilatère sont de même longueur deux à deux.

On en déduit que JKLM est un parallélogramme.

On considère le parallélogramme DEFG suivant :

Comme DEFG est un parallélogramme, on en déduit que ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux :

DG=EF et DE=FG

Un parallélogramme est un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur. Autrement dit :

Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
Réciproquement, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur.

On considère le quadrilatère ABCD suivant :

Ce quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur : les côtés [AD] et [BC].

On en déduit que ABCD est un parallélogramme.

On considère le parallélogramme MNOP suivant :

Comme MNOP est un parallélogramme, on en déduit qu'il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, par exemple :

(NO)//(MP) et NO=MP

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. Autrement dit :

Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Réciproquement, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

On considère le quadrilatère OEUI suivant :

Les diagonales de ce quadrilatère se coupent en leur milieu.

On en déduit que OEUI est un parallélogramme.

On considère le parallélogramme PVHA suivant :

Comme PVHA est un parallélogramme, on en déduit que ses diagonales se coupent en leur milieu.

On a donc : OA=OV et OP=OH.

Un parallélogramme est un quadrilatère qui admet un centre de symétrie. Autrement dit :

Si un quadrilatère admet un centre de symétrie, alors c'est un parallélogramme.
Réciproquement, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il admet un centre de symétrie.

Dans ce cas, le centre de symétrie est le centre du parallélogramme, c'est-à-dire le point d'intersection de ses diagonales.

Le point O est le centre de symétrie du parallélogramme ABCD .

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut montrer que :

C'est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
C'est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont de même longueur.
C'est un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
C'est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.
C'est un quadrilatère qui a un centre de symétrie.

L'aire d'un parallélogramme

Base et hauteur dans un parallélogramme

Une base correspond à un côté. La hauteur associée à cette base est alors la distance entre ce côté et le côté opposé.

Dans un parallélogramme, il existe deux couples \left( \text{base};\text{hauteur} \right).

Dans le parallélogramme ABCD, on peut prendre le côté [AB] comme base. La hauteur est alors la longueur MN.

Dans ce parallélogramme ABCD, on peut prendre également le côté [AD] comme base. La hauteur est alors la longueur IJ.

L'aire A d'un parallélogramme est égale au produit de la longueur b d'un côté par la hauteur h associée :

A=h\times b

Ici, on a h=3 cm et c=5 cm.

Soit A l'aire du parallélogramme, on a :
A=3\times5=15\text{ cm}^{2}

L'aire de ce parallélogramme est égale à 15 cm².

L'aire d'un parallélogramme de base b et de hauteur h est égale à l'aire d'un rectangle de longueur b et de hauteur h.

L'aire du parallélogramme RSTU est égale à l'aire du rectangle HSTK.

III

Les parallélogrammes particuliers

Le rectangle

Rectangle

Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.

Le quadrilatère RSTU est un parallélogramme.

Il a un angle droit : l'angle \widehat{SRU}.

On en déduit que RSTU est un rectangle.

Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. Autrement dit :

Si un quadrilatère a ses quatre angles droits, alors c'est un rectangle.
Réciproquement, un rectangle a ses quatre angles droits.

Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur. Autrement dit :

Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
Réciproquement, un rectangle est un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur.

Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur.

Donc EFGH est un rectangle.

Le quadrilatère JKLM est un rectangle.

Donc ses diagonales sont de même longueur.

Un rectangle est un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu. Autrement dit :

Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu, alors c'est un rectangle.
Réciproquement, si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle, on peut montrer que :

C'est un parallélogramme qui a un angle droit.
C'est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur.
C'est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
C'est un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.

Le losange

Losange

Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.

Le quadrilatère RSTU est un parallélogramme.

Il a deux côtés consécutifs de même longueur : [RS] et [ST].

On en déduit que RSTU est un losange.

Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Autrement dit :

Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange.
Réciproquement, un losange a ses quatre côtés de même longueur.

Un losange est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires. Autrement dit :

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
Réciproquement, un losange est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires.

Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

Donc EFGH est un losange.

Le quadrilatère JKLM est un losange.

Donc ses diagonales se coupent en leur milieu.

Un losange est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Autrement dit :

Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu, alors c'est un losange.
Réciproquement, si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un losange, on peut montrer que :

C'est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
C'est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
C'est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
C'est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Le carré

Carré

Un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.

Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre angles droits. Autrement dit :

Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur et quatre angles droits, alors c'est un carré.
Réciproquement, un carré a ses quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

Le quadrilatère RSTU a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre angles droits.

Donc le quadrilatère RSTU est un carré.

Le quadrilatère ABCD est un carré.

Donc ses quatre côtés sont de même longueur et ses quatre angles sont droits.

Un carré est un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires, de même longueur et qui se coupent en leur milieu. Autrement dit :

Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, de même longueur et qui se coupent en leur milieu, alors c'est un carré.
Réciproquement, un carré est un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires, de même longueur et qui se coupent en leur milieu.

Le quadrilatère ABCD est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires, de même longueur et qui se coupent en leur milieu.

Donc ABCD est un carré.

Le quadrilatère JKLM est un carré.

Donc ses diagonales sont perpendiculaires, de même longueur et se coupent en leur milieu.

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un carré, on peut montrer que :

C'est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur et un angle droit.
C'est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur.
C'est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.
C'est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires, de même longueur et qui se coupent en leur milieu.

Les parallélogrammes Cours

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