Dans cet exercice, on étudie la probabilité de gain des deux jeux ci-dessous.
Jeu 1
Un sac contient cinq boules indiscernables au toucher, dont :
- une portant la lettre N ;
- deux portant la lettre G ;
- deux portant la lettre P.
Jeu 2
Une roue à six secteurs angulaires identiques numérotés de un à six.
On considère le jeu 1.
On pioche une boule au hasard dans ce sac et on note la lettre inscrite sur la boule choisie.
On considère qu'on a gagné si on pioche la lettre G.
Quelle est la probabilité de gagner avec ce jeu ?
Il y a 5 boules au total dans le sac.
Donc le nombre total d'issues est égal à 5.
Il y a 2 boules avec la lettre G.
Donc le nombre d'issues favorables est égal à 2.
Les boules sont indiscernables au toucher et on en pioche une au hasard, on est donc dans une situation d'équiprobabilité.
Par conséquent, la probabilité de piocher la lettre G est égale à \frac{2}{5}.
La probabilité de gagner avec ce jeu est égale à \frac{2}{5}.
On considère le jeu 2.
On fait tourner la roue et on note le nombre inscrit sur le secteur pointé par la flèche.
On considère qu'on a gagné si on s'arrête sur un nombre premier.
Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?
Il y a 6 secteurs angulaires au total sur la roue.
Donc le nombre total d'issues est égal à 6.
Il y a 3 nombres premiers qui apparaissent sur la roue : 2 ; 3 ; 5.
Donc le nombre d'issues favorables est égal à 3.
Par conséquent, la probabilité que le nombre inscrit sur le secteur angulaire pointé par la flèche soit un nombre premier est égale à \frac{3}{6}.
En simplifiant, on obtient \dfrac{1}{2}.
La probabilité de gagner avec ce jeu est égale à \frac{1}{2}.
Quel est le jeu qui présente la plus faible probabilité de gagner ?
La probabilité de gagner au jeu 1 est égale à \dfrac{2}{5}.
La probabilité de gagner au jeu 2 est égale à \dfrac{1}{2}.
Or :
\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{10}=0{,}4
et
\dfrac{1}{2}=0{,}5
On remarque que 0,4 est inférieur à 0,5.
Par conséquent :
\dfrac{2}{5}\lt\dfrac{1}{2}
On en conclut donc que la probabilité de gagner au jeu 1 est plus faible que celle de gagner au jeu 2.
Le jeu qui présente la plus faible probabilité de gagner est le jeu 1.
Quelles boules pourrait-on ajouter dans le sac pour que la probabilité de gagner avec le jeu 1 soit de \dfrac{1}{4} ?
On veut que la probabilité de gagner au jeu 1 soit égale à \dfrac{1}{4}.
( \dfrac{1}{4}=0{,}25 est plus petit que \dfrac{2}{5}=0{,}4, donc on veut réduire la probabilité d'obtenir une boule G. Pour cela, on peut garder les 2 boules G et augmenter le nombre des autre boules)
Or :
\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}
On cherche donc à ce que la probabilité de gagner au jeu 1 soit égale à \dfrac{2}{8}.
Il faudrait donc avoir 8 boules au total dans le sac, dont 2 boules G.
On a déjà 2 boules G dans le sac.
On en déduit qu'il suffit d'ajouter dans le sac 3 boules autres que G, par exemple 2 boules P et 1 boule N.
Pour que la probabilité de gagner avec le jeu 1 soit de \dfrac{1}{4}, on pourrait ajouter dans le sac 2 boules P et 1 boule N.
Dans cette partie, toute trace de recherche sera valorisée.
On choisit finalement de combiner ces deux jeux.
Dans un premier temps, le joueur doit tirer une boule dans le sac du jeu 1.
On doit ensuite faire tourner la roue du jeu 2.
Le joueur gagne un lot s'il a tiré une boule portant la lettre G et si la roue s'arrête sur un secteur angulaire dont le numéro est un nombre premier.
Quelle est la probabilité de gagner à cette combinaison des deux jeux ?
Pour dénombrer toutes les issues de cette expérience aléatoire à deux épreuves, on peut construire un tableau à double entrée.
Le nombre total d'issues est égal à :
5 \times 6 = 30
Le nombre d'issues favorables est égal à 6.
On en déduit que la probabilité d'obtenir une boule portant la lettre G et un secteur angulaire de la roue avec un nombre premier est égale à :
\dfrac{6}{30}
Et en simplifiant par 6, on obtient :
\dfrac{1}{5}
Ainsi, la probabilité d'obtenir une boule portant la lettre G et un secteur angulaire de la roue avec un nombre premier est égale à \dfrac{1}{5}.
La probabilité de gagner à cette combinaison des deux jeux est égale à \dfrac{1}{5}.